La thèse de M. Fabry a pour objet de résumer les travaux de MM. Fuchs, Thomé et Frobenius sur les équations différentielles linéaires et d’ajouter quelques résultats nouveaux à ceux que ces géomètres avaient déjà obtenus.
Dans les deux premières parties (n\(^\circ\)1 à 12), l’auteur expose les théorèmes généraux sur les équations fondamentales et déterminantes, déjà résumés dans les thèses de MM. Tannery et Floquet. Le théorème bien connu que « l’équation fondamentale est indépendante du système fondamental d’intégrales qui a servi à la former » est démontré d’une façon nouvelle. Au n\(^\circ\)12, M. Fabry démontre que « produit des racines des équations fondamentales relatives à tous les points singuliers (y compris le point \(x\,=\,\infty\)) est égal à 1 », ainsi qu’un certain nombre de théorèmes analogues. Ces résultats quoique n’ayant jamais été énoncés sous cette forme, ne peuvent néanmoins être regardés comme nouveaux.
Dans la troisième partie, l’auteur expose en modifiant un peu la forme, les théories de M. Thomé sur la distinction des intégrales régulières et irrégulières¹. Pour certains points singuliers, il y a une équation déterminante, mais dont le degré est inférieur à l’ordre de l’équation différentielle linéaire proposée. On peut alors, comme on le sait, trouver les séries ordonnées selon les puissances croissantes de \(x\) et satisfaisant formellement à l’équation différentielle. Mais ces séries ne sont pas toujours convergentes. Quand elles le sont elles représentent des intégrales de l’équation qui sont dites régulières.
M. Fabry est parvenu à former, par un procédé assez ingénieux, des exemples particuliers où il est possible de démontrer que ces séries sont convergentes et d’autres où on peut démontrer qu’elles sont divergentes. Ce procédé n’avait été que vaguement indiqué, mais non développé dans les travaux de M. Thomé.
La quatrième partie a pour objet de résumer les travaux de M. Thome sur les intégrales normales. Si on pose \(y\,=\,e^P z\), (\(P\) étant un polynôme en \(x\)) \(z\) satisfera comme \(y\) à une équation linéaire à coefficient rationnels. On peut en général déterminer \(P\) de telle sorte que l’équation en \(z\) soit satisfaite formellement par des séries ordonnées suivant les puissances de \(x\). Si une de ces séries est convergente, l’équation en \(z\) a une intégrale régulière et on dit que l’équation en \(y\) a une intégrale normale. Le facteur \(e^P\) est le facteur déterminant. Après avoir exposé cette théorie, l’auteur construit des exemples d’intégrales d’apparence normale à séries divergentes par le même procédé que dans la troisième partie.
Le n\(^\circ\)31 est la partie la plus originale de la thèse de M. Fabry. Dans certains cas, les méthodes de M. Thomé ne donnent pas le facteur déterminant, mais par un changement de variables, M. Fabry ramène ces cas particulier au cas général. Les séries qu’il obtient permettraient de développer l’intégrale générale si elles étaient convergentes. Malheureusement elles divergent en général.
La cinquième partie de la thèse de M. Fabry est une application des théories précédentes aux problèmes de la réductibilité des équations linéaires. Les n\(^\circ\) 32 et 33 sont un résumé des résultats de M. Thomé sur cette question². Ce savant a montré, comme on le sait, comment on peut reconnaître par un nombre limité d’essais, si on peut trouver une équation linéaire d’ordre moins élevé que l’équation proposée, et dont les intégrales satisfont à cette équation. Mais le géomètre allemand a supposé que cette équation auxiliaire avait toutes ses intégrales régulières ou bien toutes ses intégrales normales avec un même facteur déterminant.
Dans les n\(^\circ\)34, 35 et 36 qui lui sont absolument personnels, l’auteur s’affranchit de cette hypothèse, et montre comment on peut par un nombre limité d’essais reconnaître si une équation linéaires est réductible, pourvu toutefois qu’on impose d’avance une limite inférieure des points singuliers de l’équation auxiliaires. Cette importante restriction qui ne se rencontrait pas dans les résultats obtenus par M. Thomé apparaît dès qu’on ne suppose plus que les intégrales normales de l’équation auxiliaire ont même facteur déterminant. Pour obtenir ce résultat, M. Fabry s’est servi des séries divergentes qui définissent les « intégrales d’apparence normale », comme si elles étaient convergentes. Il a d’ailleurs établi la légitimité de ce procédé par un raisonnement rigoureux.
En résumé, nous croyons que M. Fabry a rendu de réels services en réunissant et vulgarisant des travaux dispersés dans divers recueils, et en ajoutant divers résultats nouveaux à ceux qu’il devait à ces devanciers. Nous estimons qu’il y a lieu d’autoriser l’auteur à faire imprimer et à soutenir sa thèse.