LettreLeopold Kronecker à Henri Poincaré - 14 février 1883
Berlin, W. Bellevuestr. 13.
14.Février 18831
Monsieur,
Ayant lu votre dernière communication dans les Comptes Rendus2, je désirerais appeler votre attention à un mémoire que j’ai publié en 1869 et que je prends la liberté de vous envoyer3. J’y ai ajouté quelques autres de mes mémoires et en outre je me suis permis d’adresser à Mr Tannery un petit paquet destiné pour vous, contenant tous les exemplaires de mes mémoires, que j’ai à ma disposition. Le mémoire cité de 1869 (mois de Mars) est intitulé : Systèmes de fonctions de plusieurs variables4. J’y ai développé la généralisation de cet important théorème de Cauchy qui me semble contenir le vrai fondement de la théorie des fonctions5. Il est très remarquable, qu’il existe un théorème tout-à-fait analogue pour un nombre quelconque de variables, et mes recherches m’ont montré qu’on ne peut reconnaître les propriétés des fonctions pour lesquelles \(\Delta F = 0\) sans traiter les fonctions plus générales où \(\Delta ><0\)6
Votre très dévoué
Apparat critique
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Cette lettre est rédigée sur une carte de l’Union postale universelle (Postkarte aus Deutschland).↩︎
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La note de Poincaré (1883b) sur les fonctions à deux variables paraît dans le compte rendu de la séance du 22 janvier 1883. Poincaré y annonce le théorème selon lequel une fonction à deux variables méromorphe peut s’écrire comme le quotient de deux fonctions holomorphes. Ce résultat avait aussi frappé Weierstrass, voir la lettre 24 (p. 24) de (Nabonnand 1999).↩︎
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(Kronecker 1869).↩︎
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Le titre allemand est Über Systeme von Functionnen mehrer Variabeln.↩︎
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Kronecker parle de la formule intégrale de Cauchy. Kronecker (1869, 176–80) établit une formule qui généralise la formule de Cauchy aux systèmes de fonctions uniformes (réelles ou complexes) \(F_0, F_1, \ldots, F_n\) de \(n\) variables \(z_1, z_2, \ldots, z_n\).
Pour plus de précisions sur l’utilisation par Poincaré de l’indice de Kronecker (en particulier dans ses premiers travaux sur le problème des trois corps ((Poincaré 1883a) et (Poincaré 1884))) , voir (Mawhin 2012).↩︎ -
Voir (Kronecker 1869, 171–74 et p. 189-192).
Dans le mémoire des Acta mathematica dans lequel il développe sa note, Poincaré (1883c) reprend cette remarque. En partant d’une généralisation du fait que les parties réelles et imaginaires d’une fonction holomorphe à une variable sont harmoniques, Poincaré évoque les travaux de Klein et Kronecker sur cette question et le lien à faire avec la théorie du potentiel :
↩︎On sait que la partie réelle \(u\) d’une fonction d’une variable imaginaire \(x+iy\), satisfait à l’équation \(\frac{d^2u}{dx^2} \,+\, \frac{d^2u}{dy^2}\; =\; 0\), de sorte que l’étude des fonctions d’une seule variable se ramène à l’étude d’une attraction s’exerçant en raison inverse de la distance. On a vu dans les derniers numéros des Mathematische Annalen, quel parti M. Klein a su tirer de considérations physiques qui sont au fond tout à fait analogues. De même si nous posons \[X \;=\; x+iy \qquad Y \;=\; z+it\] la partie réelle \(u\) d’une fonction quelconque de \(X\) et de \(Y\) satisfera l’équation : \[\Delta u \;=\; \frac{d^2u}{dx^2} \,+\, \frac{d^2u}{dy^2} \,+\, \frac{d^2u}{dz^2} \,+\, \frac{d^2u}{dt^2}\; =\; 0\] de sorte qu’à ce point de vue l’étude des fonctions de deux variables se ramène à celle d’une attraction s’exerçant dans l’espace à quatre dimensions en raison inverse du cube de la distance. M. Kronecker a déjà fait voir (Monatsberichte 1869) que la considération d’une telle attraction peut être utile au géomètre qui veut étudier les fonctions de plusieurs variables. Je n’emploierai pas cependant le langage hypergéométrique ; je me bornerai à lui emprunter quelques expressions. ((Poincaré 1883c, 98))
Références
Kronecker, Leopold. 1869. “Über Systeme von Functionen Mehrer Variabeln.” Monatsberichte Der Königlichen Preussische Akademie Des Wissenschaften Zu Berlin., 159–93.
Mawhin, Jean. 2012. Les Histoires belges d’Henri Poincaré. Académie royale de Belgique.
Nabonnand, Philippe, ed. 1999. La Correspondance Entre Henri Poincaré et Gösta Mittag-Leffler. Basel: Birkhäuser.
Poincaré, Henri. 1883a. “Sur Certaines Solutions Particulières Du Problème Des Trois Corps.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séance de L’Académie Des Sciences 97: 251–52.
———. 1883b. “Sur Les Fonctions de Deux Variables.” Compte Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences 96: 238–40.
———. 1883c. “Sur Les Fonctions de Deux Variables.” Acta Mathematica 2: 97–113.
———. 1884. “Sur Certaines Solutions Particulières Du Problème Des Trois Corps.” Bulletin Astronomique 1: 65–74.
- Titre
- Leopold Kronecker à Henri Poincaré - 14 février 1883
- Incipit
- Ayant lu votre dernière communication dans les Comptes Rendus
- Date
- 1883-02-14
- Expéditeur
- Kronecker, Leopold (1823-1891)
- Destinataire
- Poincaré, Henri (1854-1912)
- Adresse
- Paris
- Lieu
- Berlin
- Lieu d’archivage
- Adresse de Private collection 75017
- Type
- fr Carte postale signée
- Noms cités dans l'apparat
- Poincaré, Henri (1854-1912)
- Weierstrass, Karl (1815-1897)
- Kronecker, Leopold (1823-1891)
- Klein, Felix (1849-1925)
- Références Bibliographiques citées dans l'apparat
- Acta mathematica
- numéroDeVolume
- 4
« Leopold Kronecker à Henri Poincaré - 14 février 1883 », La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 19 avril 2024, https://henripoincare.fr/s/Correspondance/item/17819