Sur une solution nouvelle et générale du problème de Riemann.¹

Par M. L. Schlesinger

En conservant les notations de ma Note précédente je vais considérer le problème de Riemann, déterminé par les affixes des points singuliers \(a_1,\cdots,a_\sigma\) et par les substitutions \(\left(A_{ik}{(\nu)}\right)\) \((\nu=1,2,\cdots,\sigma)\) données arbitrairement. Pour me débarrasser des complications algébriques qui ne touchent pas les principes de la méthode que je vais indiquer, je supposerai que les équations fondamentales \[\vert A_{ik}{(\nu)}-\delta_{ik}\omega\vert =0 \; (\nu=1,2,\cdots,\sigma)\\ (i,k=1,2,\cdots,n) \label{equa:1}\] n’aient pas de racines multiples ; soient \(\omega_{1}^{(\nu)},\cdots,\omega_{n}^{(\nu)}\) les racines de l’équation ([equa:1]).

On peut former une équation de la forme (3) (v. note précédente) de manière que les racines des équations déterminantes (4) (ibid.) soient <2> précisément les quantités \[r_k^{\nu}=\frac{\log \omega_k^{(\nu)}}{2\pi \sqrt{-1}} \; (k=1,2,\cdots,n),\]

ce qu’impose aux \(n^2\sigma\) quantités \(\mathcal{B}_{ik}^{(\nu)}\;n\sigma\) conditions ; les \((n^2-n)\sigma\) quantités restant encore arbitraires, pourront être mises en évidence de la manière suivante. Choisissons ces \((n^2-n)\sigma\) quantités d’une manière arbitraire mais déterminée et soient \((b_{ik}^{(\nu)})\), \(\sigma\) matrices constantes à déterminants différents de zéro. Alors la matrice \((b_{ik}^{(\nu)})(\mathcal{B}_{ik}^{(\nu)}(b_{ik}^{(\nu)})^{-1}\) est la plus générale dont l’équation fondamentale à pour racines les \(r_k^{\nu}\), et elle dépende encore de \(n^2-n\) constantes parfaitement arbitraires, que nous désignerons par \(b_1^{(\nu)},\ldots,b_{n^2-n}^{(\nu)}\).

La matrice intégrale \[(z_{ik})=\int_{x_0}^x\left(\Sigma_{\nu=1}^\sigma \frac{\mathcal{B}_ik^(\nu)}{x-r_\nu(??)}\right)\] subit des substitutions bien déterminées \(\left(\mathcal{M}_{ik}^{(\nu)}\right)\), si la variable a franchit les coupures \(l_\nu\), et les équations fondamentales de ces substitutions ont pour racines les \(\omega_k^{(\nu)}\). De même la matrice intégrale \[(\zeta_{ik})=\int_{x_0}^{x} \Sigma_{\lambda=1}^{\sigma} \left(b_{ik}^{(\lambda)}\right) \left(\frac{\mathcal{B}_{ik}^{(\lambda)} } { x-r_\lambda(??)}\right)\left(b_{ik}^{(\lambda)}\right)^{-1}\] subira des substitutions, dont les équations fondamentales auront les mêmes racines \(\omega_k^{(\nu)}\), ces substitutions <2> pourront être mises sous la forme \[(\beta_ik^{(\nu)})(\mathcal{M}_ik^(\nu)(\beta_ik^{(\nu)})^{-1} \; (\nu=1,2,\cdots,\sigma) \label{equa:4}\] En considérant les \((\beta_{ik}^{(\nu)})\) comme des matrices constantes arbitraires aux déterminants différent de zéro, les matrices ([equa:4]) représenterons les matrices les plus générales, dont les équations fondamentales ont pour racines les \(\omega_k^{(\nu)}\), et la matrice ([equa:4]) dépendra encore de \(n^2-n\) constantes arbitraires, que nous désignerons par \(\beta_1^{(\nu)},\cdots,\beta_{n^2-n}^{(\nu)}\).
Considérons la multiplicité \(\mathcal{M}\) des \(\sigma(n^2-n)\) quantités \(b_k^{(\nu)}\) et la multiplicité \(\mathfrak{M}\) des \(\sigma(n^2-n)\) quantités \(\beta_k^{(\nu)}\) \((k=1,2,\cdots,n^2-n)\). À chaque point \(m\) de \(\mathcal{M}\) il corresponde un point \(y\) et un seul de \(\mathfrak{M}\) et d’après le théorème de M. Poincaré mentionné dans la note précédente, les coordonnées de \(y\) sont des fonctions entières des coordonnées de \(m\). D’ailleurs, d’après le théorème que nous avons énoncé l.c., à aucun point de \(\mathfrak{M}\) ne peut correspondre plus d’un point de \(\mathcal{M}\). Comme les \(b_k^{(\nu)}\) sont parfaitement arbitraires, la multiplicité \(\mathcal{M}\) est une multiplicité fermée ne présentant pas de bord ; il s’en suit donc, d’après le principe <3> de la méthode de continuité établie par M. Poincaré (Acta Mathem. IV, p. 234), qu’à tout point de \(\mathfrak{M}\) corresponde un point de \(\mathcal{M}\). Il existe donc toujours un système différentiel aux coefficients \[\Sigma_{\nu=1}^\sigma \left(b_{ik}^{(\nu)}\right) \left(\frac{\mathcal{B}_{ik}^{(\nu)} } {x-r_\nu(??)}\right)\left(b_{ik}^{(\nu)}\right)^{-1}\] dont la matrice intégrale (3) subit les substitutions (4), quelque soient les matrices transformantes \(\left(\beta_{ik}^{(nu)}\right)\). Comme les substitutions données \(\left(A_{ik}^{(\nu)}\right)\) pourront être mises sous la forme (4), l’existence des fonctions, satisfaisant au problème de Riemann se trouve démontrée.