La thèse présentée par M. Borel a pour objet l’étude des fonctions développables en séries de la forme : \[\varphi(x)\,=\, \sum\frac{A}{(x\,-\,a)^{\alpha}}\] Déjà les analystes avaient eu l’occasion de s’occuper de beaucoup de séries de cette forme et, pour quelques unes d’entre elles, on avait remarqué qu’elles représentent deux fonctions différentes dans deux régions différentes du plan. Cependant, l’étude systématique de ces développements reste à faire et le travail de M. Borel contribuera à combler cette lacune. L’auteur établit d’abord que si les points \(a\) sont sur une ligne fermée \(L\) et la série \(\sum |A|\) converge, la série \(\varphi{x}\) ne peut être identiquement nulle à l’intérieur de \(L\) sans l’être également à l’extérieur de \(L\) et il déduit de ce théorème une définition non équivoque du prolongement analytique d’une fonction de la forme de \(\varphi(x)\) au delà d’une ligne singulière telle que \(L\). Les mêmes conclusions ne s’appliqueraient plus s’il y avait en dehors de la ligne \(L\) une infinité de points \(\alpha\) se rapprochant indéfiniment de cette ligne.
M. Borel obtient cependant même dans ce cas un autre résultat intéressant. Si les points \(a\) remplissent une certaine région \(R\), et si par exemple \(\alpha\,=\,1\), si la série \(| \sum\sqrt{A}|\) est convergente, on pourra joindre deux points extérieurs à \(R\), par une infinité de lignes qui traversent cette région et le long desquelles la série \(\varphi(x)\) converge uniformément, le long desquelles par conséquent, la fonction est continue. Si la série \(\sum|\sqrt[{k+1}]{A}|\) converge, non seulement la fonction \(\varphi (x)\) est continue le long de ces lignes, mais il en est de même de ses \(k\) premières dérivées. Enfin toutes les dérivées sont continues si la série \(\sum 1/log|A|\) converge. Enfin, si l’on suppose que \(\alpha\) est égal à \(1\), que les points \(a_n\) remplissent une région annulaire \(R\) et qu’il n’y en ait par conséquent ni à l’intérieur de l’anneau \(R\), ni à l’extŕieur de cet anneau, si enfin la série \(\sum a_n z^n\) converge pour toutes les valeurs de \(z\) la fonction \(\varphi(x)\,=\, \sum A_n/(x\,-\,a_n)\) ne pourra être identiquement nulle à l’intérieur de l’anneau sans l’être également à l’extérieur de cet anneau.
Toutes ce propriétés sont fort curieuses et de nature à éclaircir nos idées sur un des points les plus délicats de la théorie des fonctions.
Dans la deuxième partie de sa thèse, M. Borel étudie une fonction qui dans un intervalledonné est continue ainsi que toutes ses dérivées, mais qui en aucun point de cet intervalle n’est susceptible d’être développée par la formule de Taylor. Il montre qu’elle peut être égalée à la somme d’une série de Taylor et d’une série de Fourier et de telle façon qu’une dérivée d’ordre quelconque s’obtienne en différentiant ces deux séries terme à terme. Il est ainsi amené à résoudre une infinité d’équations linéaires à une infinité d’inconnues ; le procédé qu’il emploie et qui, comme l’auteur le montre, est susceptible de généralisation, met en pleine lumière ce fait déjà signalé que la résolution de semblables équations peut se ramener à celle d’un système d’inégalités. Enfin, dans une note, M. Borel revenant sur un point de détail, nous donne un théorème intéressant relatif à la théorie des ensembles de M. Cantor.
La thèse de M. Borel est donc un travail remarquable où quelques unes des questions les plus difficiles de l’analyse sont abordées avec succès et qui contient plusieurs résultats importants. Nous estimons qu’il y a lieu de l’autoriser à imprimer et à soutenir cette thèse.¹