Paris 25 Août 1883

Monsieur,

Merci de votre aimable lettre à laquelle je m’empresse de répondre. Je ne crois pas vous avoir écrit qu’il y avait des termes séculaires quand \(\lambda\) est multiple de \(m\); et si je l’ai fait c’est par inadvertance; j’ai dit que ces termes se présentent quand \(m\) est multiple de \(\lambda\) et j’aurais dû dire de \(\frac{\lambda}{2}\). Voici l’analyse par laquelle j’arrive à ce résultat, analyse que je croyais connue mais qui ne doit pas l’être, puisque vous qui êtes si bien au courant de ces questions, vous ne semblez pas la connaı̂tre.¹

Faisons \(\lambda=1\) pour plus de commodité. Soient \[x=\phi(t)\qquad y=\psi(t)\] deux intégrales de l’équation \[\frac{d^2x}{dt^2}+x(n^2-2\beta\cos t)=0.\] Soit \[x'=\phi(t+2\pi)\qquad y'=\psi(t+2\pi)\] on aura: \[x'=\alpha x+\beta y\qquad y'=\gamma x +\delta y\] \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) étant des constantes telles que \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\). \(\alpha+\delta=2\cos 2m\pi\) est indépendant du choix des deux intégrales \(x\) et \(y\); disons en passant que \(\alpha+\delta\) est développable suivant les puissances de \(n^2\) et de \(\beta\) en une série qui est convergente quelles que soient les valeurs de ces variables.²

Si \((\alpha+\delta)^2\)³ \(4\), on peut choisir \(x\) et \(y\) de telle façon que:⁴ \[x'=\alpha x\qquad y'=\delta y\] \[\beta=\gamma=0\qquad\alpha=e^{2im\pi}\qquad\delta=e^{-2im\pi}\] On en déduit:⁵ \[x=e^{imt}\phi_1(t)\qquad y=e^{-imt}\psi_1(t)\] \(\phi_1\) et \(\psi_1\) étant des séries de cosinus et de sinus des multiples de \(t\).

Si donc \(m\) est réel, ce que nous supposerons, il n’y a pas de terme séculaire. Mais \((\alpha+\delta)^2\) est différent de 4 toutes les fois que \(m\) n’est pas un multiple de \(\frac{1}{2}\) (ou de \(\frac{\lambda}{2}\) en général). Ainsi il n’y a pas de terme séculaire quand \(n+m\) ou \(n-m\) est multiple de \(\lambda\).

Supposons maintenant \((\alpha+\delta)=\pm 2\); dans ce cas on pourra choisir \(x\) de telle façon que:⁶

\[x'=\pm x\qquad y'=\pm y+\gamma x\] \[\alpha=\pm 1\qquad\delta=\pm 1\qquad\beta=0.\qquad m\equiv 0 \text{ ou }\frac{1}{2}\text{ mod } 1.\] Mais en général on ne pourra pas choisir \(y\) de telle façon que \(\gamma\) soit nul. On déduit de là: \[x=e^{imt}\phi_1(t)\qquad y=e^{imt}\left[\psi_1(t)+\frac{\gamma}{2\pi}t\phi_1(t)\right],\] \(\phi_1\) et \(\psi_1\) admettant la période \(2\pi\).

Ainsi dans ce cas il y a une intégrale particulière sans terme séculaire; mais l’intégrale générale en contient à moins que \(\gamma\) ne soit nul.

Supposons qu’on ait trouvé l’intégrale particulière \(x\) sans terme séculaire. L’intégrale générale sera: \[y=x\left[a\int\frac{dt}{x^2}+b\right]\qquad a\;\mbox{et}\;b\;\mbox{constantes d'int{\'e}gration.}\] Or \(\frac{1}{x^2}\) peut se mettre sous la forme suivante: \[\frac{1}{x^2}=\sum_{i=1}^p \;\frac{A_i}{\cos^2\frac{1}{2}(t-a_i)}+B_0+\sum_{i=1}^{\infty}\;B_i\cos it+\sum_{i=1}^{\infty} \;C_i\sin it\] On voit aisément que si \(B_0\) n’est pas nul il y a des termes séculaires.

Reste à savoir si dans le cas particulier qui nous occupe \(B_0\) et \(\gamma\) s’annulent ou ne s’annulent pas. D’abord remarquons que l’équation différentielle ne change pas quand on change \(t\) en \(-t\). Si donc \(\phi(t)\) est une intégrale particulière, \(\phi(-t)\) en sera une autre et par conséquent aussi \(\phi(t)+\phi(-t)\) et \(\phi(t)-\phi(-t)\).⁷ Cela prouve qu’il y a une intégrale partic. paire et une autre impaire. Si \(\gamma\) était nul, toutes les intégrales seraient périodiques et l’une d’elles serait paire, une autre impaire. On aurait donc, en faisant par exemple \(m=0\) \[(1)\quad x=\sum \mu_i\cos it\qquad (2)\quad y=\sum\nu_i \sin it\] pour deux intégrales particulières. En substituant on trouve vos relations de récurrence \[\begin{matrix} (n^2-1)\mu_1 = \beta(\mu_2+\mu_0)\\ (n^2-4)\mu_2 = \beta(\mu_3+\mu_1)\\ (n^2-9)\mu_3 = \beta(\mu_4+\mu_2)\\ \end{matrix} \qquad\text{De même pour les}\;\nu\] qui permettent de calculer tous les \(\mu\) quand on connaı̂t \(\mu_0\) et \(\mu_1\) (et de même \(\nu_0\) et \(\nu_1\)). Or on trouve que, quelle que soit la valeur du rapport initial \(\frac{\mu_1}{\mu_0}\), \(\frac{\mu_{n+1}}{\mu_n}\) tend vers l’\(\infty\) avec \(n\); il n’y a d’exception que pour une seule valeur du rapport initial \(\frac{\mu_1}{\mu_0}\) et alors \[\lim\frac{\mu_{n+1}}{\mu_n}=0\] Or, nous avons \[\frac{\mu_0}{\mu_1}=\frac{\beta}{n^2}\qquad\frac{\nu_0}{\nu_1}=0\] Donc les deux séries (1) et (2) ne peuvent pas être toutes deux convergentes, l’une d’entre elles seulement le sera. Donc l’intégrale générale de l’équation proposée admet des termes séculaires.

Le résultat sur lequel je m’appuie et que j’ai souligné à la page précédente est aisé à démontrer par votre méthode.

Je venais d’écrire ces lignes; quand j’ai reçu votre seconde lettre; je suis heureux de voir que nous sommes complètement d’accord. Je vous envoie néanmoins la lettre commencée.

Permettez-moi aussi de vous adresser une question au sujet de vos méthodes que, je vous le répete, je regarde comme supérieures à toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, même à celles de M. Gyldén. Comment établissez-vous la convergence des séries auxquelles vous parvenez? C’est là un point que tous les astronomes ont jusqu’ici négligé d’établir d’une manière rigoureuse.

Quand il s’agit d’une équation linéaire dont les coëfficients sont des fonctions périodiques d’un seul argument, cette convergence est évidente.

Mais il n’en est plus de même lorsque l’équation n’est plus linéaire, lorsqu’on a par exemple \[\frac{d^2x}{dt^2}=\phi(t)x+\psi(t)x^2\] \(\phi\) et \(\psi\) étant des fonctions périodiques d’un ou plusieurs arguments.⁸

Il y a là une discussion très délicate que je voudrais vous voir aborder.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération et du plaisir que j’ai d’être entré en correspondance avec vous.

Poincaré