Dorpat den 21 März (2 April) 1884¹

Sehr geehrter Herr Professor!

Ich habe soeben ihren liebenswürdigen Brief erhalten, und beeile mich sofort darauf zu antworten. Sie fragen wie man beweisen kann, dass bei der Integration der Diff.gleichung \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2x=\psi_0+\psi_1x+\psi_2x^2+\ldots\] wenn man meine Methode befolgt, (also zuerst \(x=\eta_0\cos w\) setzt, darauf \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2(1-\nu)x=\psi_0+\psi_1\eta_0\cos w+\ldots\] integriert u.s.w.) die Glieder in \(\sin w\) ebenfalls verschwinden. Ich glaube dass diese ihre Frage davon herrührt, dass Sie sich die erste Annäherung unter der Form \[\eta_0\cos w+\eta'_0\sin w\] (\(\eta'_0\) eine zweite Integr. Constante) gedacht haben.² Denn wenn nur mit \(\eta_0\cos w\) die ganze Zeit operirt wird, so kommt kein Sinusglied in \(w\) vor, weil die Potenzen von \(\cos w\)

wieder bloss Cosinusse von den Vielfachen von \(w\) geben. Aber indem ich \[w=n(1-\sigma)t+\pi,\] wo \(\pi\) die zweite Integrationskonstante bedeutet, gesetzt habe, sind die Sinusglieder vermieden worden.

Aber auch wenn man die Form \[x=g\cos n(1-\sigma)t+h\sin n(1-\sigma)t\] wo \(g\) und \(h\) die Integr. Constanten sind, beibehalten wollte, so ist es leicht zu sehen, dass die Sinusglieder durch dieselbe Procedur zugleich mit den Cosinusgliedern verschwinden müssen. Vorausgesetzt ist natürlich, dass in den \(\psi\) keine Glieder mit \(n(1-\sigma)t\) als Argument vorkommen.

Man sieht es am Einfachsten ein, wenn man die Form \[x_1=ke^{in(1-\sigma)t}+le^{-in(1-\sigma)t}\] benutzt. Es werden dann die Coëfficienten für \[e^{in(1-\sigma)t}\quad\mbox{und}\quad e^{-in(1-\sigma)t}\] auf der rechten Seite immer dieselben sein.

Ich glaube nicht dass in dieser Hinsicht irgend eine Schwierigkeit vorliegt, da Sie aber so freundlich gewesen sind, sich für meine (in vielen Hinsichten sehr unreife) Arbeit zu interessieren, möchte ich Ihnen eine Frage machen im Betreff ihrer Note in [den] Comptes Rendus für December 1884.³

Sie weisen dort, und mit vollstem Recht, darauf hin, dass die Hauptschwierigkeit in der Auffindung eines Convergenzbeweises liege.⁴In einer früheren Note von 1882 haben Sie ebenfalls dieselbe Frage behandelt, indem Sie zeigen, dass die Reihen, die man bis jetzt in der zweiten Annäherung (in Bezug auf die störenden Massen) für z.B. die grosse Halbaxe [benutzt hat], obwohl sie periodisch sind, doch für gewisse irrationale Verhältnisse der mittleren Bewegungen nicht convergent seien, dass also die Herstellung der rein periodischen Form noch nicht die Stabilität darthut.⁵ Ich glaube aber, dass ihre Schlussweise, insofern sie sich auf die Frage von den Reihen der Störungstheorie und im Allgemeinen von Integralen der Diff. Gl. \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2x=\psi_0+\psi_1x+\ldots\] und ähnlichen bezieht, keine Anwendung finden kann. Denn schon in der Annahme eines bestimmten endlichen Verhältnisses zwischen \(n\) und \(n'\) liegt die Annahme der Convergenz der Integrale unter periodischer Form mit eingeschlossen. Ihre Schlüsse können sich nähmlich nur auf solche Reihen \[\sum A_p\cos\sigma_pt+B_p\sin\sigma_pt\] beziehen, wo die \(\sigma_p\) von den \(A_p\) und \(B_p\) unabhängig sind, was in der Störungstheorie nicht der Fall ist. Denn hier sind die \(\sigma_p\) selbst Reihen, die Glieder von derselben Natur wie die \(A_p\) und \(B_p\) enthalten. Wenn ein Glied in diesen unendlich gross wird, so hat man in den \(\sigma_p\) ebenfalls unendlich grosse Glieder von derselben Beschaffenheit. Ich meine also, dass die Annahme endlicher Werthe für die \(\sigma_p\) hier zugleich die Voraussetzung der Convergenz der Integralreihen mit sich bringt.

Ich würde Ihnen vom Herzen dankbar sein, wenn Sie mir hierüber einige aufklärende Worte geben wollten. Ich sehe gar keine Möglichkeit die Convergenz der Reihen des Dreikörperproblems nach bisher bekannten Methoden nachzuweisen. Wenn nur ein einziges noch so einfaches Beispiel vorläge, würde es ganz anders aussehen.

Indem ich [Ihnen] nochmals für ihren liebenswürdigen Brief danke, bleibe ich mit der ausgezeichnetesten Hochachtung

Ihr ergebener

And. Lindstedt.