LettreHenri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 août 1881

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Nancy, 19 Août 1881¹

Mon cher ami,

Je vous remercie bien des 50 exemplaires que vous avez bien voulu m’envoyer ainsi que de votre lettre qui m’a fait le plus grand plaisir.

Au sujet du théorème auquel votre nom est attaché,² je voudrais vous demander si vous en avez fait une généralisation pour le cas des fonctions uniformes à espace lacunaire et des fonctions présentant une infinité de points singuliers essentiels.³ Une pareille généralisation me serait fort utile dans la théorie des fonctions fuchsiennes qui présentent de telles singularités.⁴

En ce moment, je suis en vacances et, si vous vouliez m’écrire, il faudrait m’adresser votre lettre rue de Serre, 9, Nancy, France.⁵

Adieu, mon cher ami, je vous serre cordialement la main et je vous prie d’agréer l’assurance de mon affection sincère et de mon admiration pour votre talent.

Poincaré

Apparat critique

Nancy-20 août — Helsingfors-25 août.↩
Mittag-Leffler avait montré qu’il existe des fonctions méromorphes dont les pôles et les parties principales sont données arbitrairement. Plus précisément, soit \((a_\nu)\) la suite des pôles d’une fonction méromorphe. Si cette suite est finie, alors il n’y a pas de problème : la fonction ne diffère d’une fonction entière que par la somme des parties principales. Le travail original de Mittag-Leffler consiste à généraliser ce résultat au cas où la suite des pôles est infinie et vérifie \[\mathop {\lim }\limits_\nu \;a_\nu = \infty.\]

Dans ce cas, la somme des parties principales peut diverger et on doit ajouter à chaque terme un certain polynôme pour réobtenir la convergence. Les articles originaux de Mittag-Leffler (1877d), (1877a), (1877b), (1877c) sont publiés dans les Comptes rendus de l’Académie de Stockholm (Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar) et les principaux résultats résumés dans une lettre à Hermite publiée dans le Bulletin des Sciences Mathématiques Mittag-Leffler (1879).

Weierstrass simplifie la démonstration de ce résultat dans une note aux Monatsberichte Weierstrass (1880), (1881), (1894, 189–99) et Hermite propose aussi une autre démonstration de ce théorème Hermite (1882), (1917, 92–103).↩
Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 11.04.1881 (lettre n°1 ,note n°3).↩
Mittag-Leffler proposera à Poincaré une généralisation de son théorème applicable au cas où la suite des pôles reste bornée et donc adaptable à certaines fonctions à espace lacunaire; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. mars 1882 (lettre n°13, note n°28).

Poincaré n’utilise pas ces résultats de Mittag-Leffler dans les mémoires sur les fonctions fuchsiennes. Il fait allusion à la méthode de Mittag-Leffler dans son mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes pour expliquer sa démonstration de l’existence des fonctions zétafuchsiennes de deuxième espèce :

L’analogie avec la théorie des facteurs primaires de M. Weierstrass et avec le théorème de M. Mittag-Leffler va nous conduire à la généralisation cherchée. Poincaré (1884); Darboux et al., dirs, (1916, 456)

Par contre, il utilise explicitement les résultats de Mittag-Leffler dans son travail sur les fonctions de deux variables Poincaré (1883); Valiron, dir, (1950, 147–61); (voir la lettre 25.)

D’autre part, dans son étude et sa classification des fonctions thétafuchsiennes Poincaré (1882); Darboux et al., dirs, (1916, 186), Poincaré reprend la classification des fonctions selon leurs points singuliers que Mittag-Leffler propose dans sa note aux Comptes rendus du 3 avril 1882 Mittag-Leffler (1882, 938–41); (voir les lettres n°13, note n°25 et 28 et lettre n°14, note n°13)↩
L’adresse de vacances qu’indique Poincaré est celle de ses parents.↩

Références

Darboux, Gaston, N. E. Nörlund, and Ernest Lebon, eds. 1916. Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 2. Paris: Gauthier-Villars.↩

Hermite, Charles. 1882. “Sur une application du théorème de M. Mittag-Leffler dans la théorie des fonctions.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 92: 145–55.↩

———. 1917. Œuvres de Charles Hermite, Volume 4. Paris: Gauthier-Villars.↩

Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, ed. 1894. Mathematische Werke von Karl Weierstrass, Volume 2. Berlin: Mayer & Müller.↩

Mittag-Leffler, Gösta. 1877a. “Om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter med en godtyckligt val gränspunkt.” Öfversigt Af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1: 33–43.↩

———. 1877b. “Om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter med ett ändligt antal godtyckligt föreskrifna gränspunkter.” Öfversigt Af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 2: 31–41.↩

———. 1877c. “Till fragan om den analystika framställningen af en funktion af rationel karakter genom quten af tva beständigt konvergerande potensserier.” Öfversigt Af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 3: 5–31.↩

———. 1877d. “Ytterligare om den analystika framställningen af funktioner utaf rationel karakter.” Öfversigt Af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1: 17–32.↩

———. 1879. “Extrait d’une lettre à M. Hermite par M. G. Mittag-Leffler.” Bulletin Des Sciences Mathématiques et Astronomiques 3: 269–78.↩

———. 1882. “Sur la théorie des fonctions uniformes d’une variable.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences de Paris 94: 938–1165.↩

Poincaré, Henri. 1882. “Mémoire sur les fonctions fuchsiennes.” Acta Mathematica 1: 193–294.↩

———. 1883. “Sur les fonctions de deux variables.” Acta Mathematica 2: 97–113.↩

———. 1884. “Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes.” Acta Mathematica 5: 209–78.↩

Valiron, Georges, ed. 1950. Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 4. Paris: Gauthier-Villars.↩

Weierstrass, Karl. 1880. “Über einen functionentheorischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler.” Monatsberichte Der K. Preuss. Akademie Der Wissenschaften Zu Berlin, 707–17.↩

———. 1881. “Sur un théorème de M. Mittag-Leffler et sur la théorie des fonctions uniformes.” Bulletin Des Sciences Mathématiques et Astronomiques 5 (2): 113–24.↩

Métadonnées

Titre: Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 août 1881
Incipit: Je vous remercie bien des 50 exemplaires que vous avez bien voulu m'envoyer ...
Date: 1881-08-19
Expéditeur: Poincaré, Henri (1854-1912)
Destinataire: Mittag-Leffler, Gösta (1846-1927)
Lieu: Paris
Sujet: Théorèmes de Mittag-Leffler; Fonction à espace lacunaire; Fonction Fuchsienne; Fonction Zétafuchsienne; Fonction Thétafuchsienne
Chapitre: Gösta Mittag-Leffler
Lieu d’archivage: Mittag-Leffler Institute
Type: fr Lettre autographe signée
Section (dans le livre): 10
Nombre de pages: 3
Est une partie de: La correspondance entre Henri Poincaré et Gösta Mittag-Leffler
Noms cités dans l'apparat: Mittag-Leffler, Gösta (1846-1927); Weierstrass, Karl (1815-1897); Hermite, Charles (1822-1901); Poincaré, Henri (1854-1912)
Langue: fr
Publié sous la référence: CHP 1:10
Éditeur: Archives Henri Poincaré
Licence: CC BY-ND 4.0

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« Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 août 1881 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 20 avril 2024, https://henripoincare.fr/s/Correspondance/item/5840