Apparat critique

1. Paris-27 juillet — Helsingfors-1 août.↩

2. Schwarz (1869b), (1890b, 65–83).↩

3. Schwarz(1869a), (1890b, 84–101).↩

4. Schwarz (1872), (1890b, 175–210).↩

5. Schwarz (1870), (1890b, 144–71).↩

6. Schwarz(1873), (1890b, 211–59).↩

7. Dans cet article, Schwarz s’intéresse à la question de l’application conforme d’une surface sur l’autre. Le point de départ de sa recherche est un théorème de Riemann qui affirme la possibilité d’une application entre deux surfaces simplement connexes quelconques :

   Zwei gegebene einfach zusammenhängende ebene Flächen können stets so auf einander bezogen werden, dass jedem Punkte der einen Ein mit ihm stetig fortrückender Punkt der andern entspricht und ihre entsprechenden kleinsten Theile ähnlich sind; und zwar kann zu Einem innern Punkte und zu Einem Begrenzungspunkte der entsprechende beliebig gegeben werden; dadurch aber ist für alle Punkte die Beziehung bestimmt. Riemann (1876, 40)

   En prenant l’exemple du triangle et du disque, Schwarz considère que la détermination exacte de la fonction réalisant l’application était “hors d’atteinte des mathématiques de cette époque” du fait des singularités des frontières. Dans un premier temps, Schwarz se propose de résoudre le cas particulier de l’application conforme d’un domaine limité par des lignes droites (en particulier un carré) sur le disque.

   Il établit d’abord la proposition souvent appelée “le lemme de symétrie de Schwarz ” :

   Entspricht bei einer analytischen Function einer stetigen Folge reeller Werthe des complexen Argumentes eine stetige Folge reeller Werthe der Function, so entsprechen je zwei conjugirten Werthen des Argumentes conjugirte Werthe der Function. Schwarz (1869b), (1890b, 66)

   Puis, Schwarz généralise son théorème et en conclut qu’une fonction analytique définie sur un domaine dont une partie de la frontière est une ligne droite, est prolongeable (modulo les rotations) par symétrie par rapport à cette droite si l’image de cette partie de la frontière est une droite. Ainsi, une fonction définie sur un carré et prenant ses valeurs dans ce même carré est-elle prolongeable à travers les quatre côtés du carré et donc prolongeable sur un domaine aussi grand que l’on veut.

   Il aborde alors la question des sommets du carré et explique que ces points sont nécessairement exceptionnels :

   Die Begrenzung des Quadrates hat in den vier Ecken desselben singuläre Punkte. Diese Punkte müssen bei der Forderung, dass die Fläche des Quadrates in den kleinsten Theilen ähnlich auf die Fläche des Kreises oder auf die Fläche der Halbebene abgebildet werden soll, ausgenommen werden, sonst würde die gestellte Aufgabe eine nicht erfüllbare Forderung enthalten.

   Jedes in der Nähe einer Ecke des Quadrates liegende Stück der Fläche desselben, ein in der Nähe des Scheitels liegendes Stück der Fläche eines rechten Winkels, muss durch diejenige Function, welche die angegebene Abbildung vermittelt, auf einen flachen Winkel abgebildet werden. Schwarz(1869b), (1890b, 69)

   Pour résoudre cette question, Schwarz se pose le problème de déterminer la fonction la plus générale qui réalise une application conforme d’un voisinage du sommet \(u= 0\) du secteur \[\begin{array}{cc} u = re^{i\varphi }; & 0 \leq \varphi \leq \alpha \pi \end{array}\] sur le demi-plan complexe \[\left\{ \begin{array}{cc} t/t = \rho e^{i\varphi}, & 0 \leq \varphi \leq \pi \end{array} \right\}.\]

   Après avoir constaté que la fonction la plus simple qui réalise ce programme est \(u^{1/\alpha}\), il montre que la fonction la plus générale est de la forme : \[u = \frac{1}{C^\alpha} t^\alpha \left( 1 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots \right).\]

   Dans le cas où l’on impose que les points singuliers de l’application du carré sur le demi-plan soient \(\left\{ {0,\; \pm 1,\;\infty } \right\}\), Schwarz montre que les fonctions définies par \[u = C_1 \int_0^t {\frac{{dt}} {{\sqrt {4t(1 - t^2 )} }} + C_2 }\] résolvent la question.

   Man kann sich leicht überzeugen, dass in der That durch das lemniscatische Integral \[u' = \int_0^t {\frac{dt}{\sqrt{4t(1 - t^2)}}}\] das Innere jeder der beiden Halbebenen, in welche die Ebene (t) durch die Axe des Reellen getheilt wird, auf das Innere je eines Quadrates mit der Seite \[\int_0^t {\frac{{dt}} {{\sqrt {4t(1 - t^2 )} }}}\] conform abgebildet wird. Schwarz(1869b), (1890b, 74).

   Par le changement de variables \(s = \frac{t - i}{t + i}\), il obtient alors une fonction qui réalise explicitement l’application conforme d’un carré sur le disque unité.

   Durch die Functionen \[\begin{array}{ccc} u = \int_0^s \frac{ds}{\sqrt{1 - s^4}}; & s = \sin\text{am}u; & \left( k = \sqrt{-1} \right) \end{array}\] werden die in der Ebene (\(s\)) liegende Fläche des um den Punkt \(s = 0\) mit dem Radius 1 beschriebenen Kreises und die Fläche des in der Ebene (\(u\)) liegenden Quadrates mit den Ecken \(K\), \(Ki\), \(-K\), \(-Ki\), wo \[K = \int_0^1 \frac{ds}{\sqrt{1 - s^4} }\] zusammenhängend und in den kleinsten Theilen ähnlich auf einander abgebildet. Schwarz(1869b), (1890b, 74)

   Schwarz signale alors que le même raisonnement permet d’obtenir explicitement l’application conforme d’un triangle sur le plan.

   Wenn es sich darum handelt, das Innere einer Halbebene T auf das Innere eines geradlinigen Dreiecks mit den Winkeln \(\alpha \pi,\;\beta \pi,\;\gamma \pi\) conform abzubilden, so erhält man durch eine, der angegebenen ganz analoge Schlussfolgerung für die die Abbildung vermittelnde Function die Formel \[C_1 u + C_2 = \int_{t_0 }^t {\left( {t - a} \right)^{\alpha - 1} \left( {t - b} \right)^{\beta - 1} } \left( {t - c} \right)^{\gamma - 1} dt.\] Schwarz(1869b), (1890a, 75–76)

   Schwarz reconnaît que ses résultats rencontrent ceux de Christoffel. Ces théorèmes se généralisent au cas d’un polygone général Lavrent’ev et Chabat (1977, 176).

   Schwarz poursuit cette section en posant la question de l’application conforme sur le disque de domaines délimités par des courbes. Il donne alors explicitement des fonctions qui réalisent l’application conforme de domaines délimités par des paraboles et des ellipses sur des disques.

   Enfin, Schwarz termine son article en examinant la question de l’application conforme sur le demi-plan d’un domaine délimité par des arcs de cercles.

   Die einfachste krumme Linie ist der Kreis. Bei der Aufgabe, die Fläche einer von Kreisbogenstrecken begrenzten Figur in der Ebene (u) auf die Fläche einer Halbebene T abzubilden, führt eine, der oben für die Abbildung geradlinig begrenzter Polygone angegebenen ganz analoge Schlussfolgerung zum Ziele. Schwarz(1869b), (1890b, 78)

   Il désigne comme ci-dessus par \(u\) la variable correspondant au polygone curviligne et par \(t\) la variable correspondant au demi-plan. Le problème est indépendant par les changements de variables du type \[u' = \frac{C_1 u + C_2}{C_3 u + C_4}\] puisque l’image d’un polygone curviligne par une application est encore un polygone curviligne. Puis, Schwarz montre que la fonction \[\psi(u,t) = \frac{d^2}{dt^2}\log \frac{du}{dt} - \left( \frac{d}{dt}\log\frac{du}{dt} \right)^2\] est invariante par les changements de variables (1). La fonction \(\Psi(u,t)\) est entière à l’intérieur du demi-plan et rationnelle sur l’axe réel.

   …so hat die Function \(\Psi(u,t)\) für alle Werthe des Argumentes \(t\), welche den im Innern der Halbebene liegenden Punkten entsprechen, den Charakter einer ganzen Function; da dieselbe für alle reellen Werthe des Argumentes \(t\) ebenfalls reelle Werthe hat und den Charakter einer rationalen Function besitzt, so ist dieselbe eine rationale Function \(F(t)\) von \(t\).

   Die Aufgabe der conformen Abbildung der Fläche eines von Kreisbogen gebildeten Polygons auf die Fläche einer Halbebene ist also zurückgeführt auf die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung \(\Psi(u,t) = F(t)\) und die Bestimmung einer Anzahl von Constanten. Schwarz(1869b), (1890b, 79)

   Schwarz signale enfin que la solution générale de l’équation différentielle peut s’écrire comme le quotient de deux solutions d’une équation linéaire du second ordre. En effet, la fonction \(\Psi(u,t)\) s’écrit \[\frac{2u^{\prime\prime\prime}u' - 3u^{\prime\prime 2}}{2u'^2}\] et on peut reprendre le même raisonnement que celui du début de la note 10 (cette expression est parfois appelée dérivée Schwarz ienne de \(u\)).

   Es ist leicht zu zeigen, dass das allgemeine Integral der Differentialgleichung \(\Psi(u,t) = F(t)\) sich als Quotient zweier Lösungen derselben linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen Functionen als Coefficienten darstellen lässt. Diese Bemerkung verdanke ich einer gütigen Mittheilung des Herrn Weierstrass. Schwarz (1869b), (1890a, 79–80)

   Le reproche de Poincaré est donc infondé. Schwarz a le souci de montrer que les fonctions qui réalisent les projections conformes sont bien uniformes. Si Poincaré a parfaitement raison quand il affirme que les préoccupations de Schwarz n’ont rien à voir avec les siennes, il n’en est pas moins vrai que les résultats de cet article sont un pas important dans la description des pavages hyperboliques du disque.↩

8. Dans cet article, Schwarz applique au problème de l’application conforme d’un tétraèdre sur la sphère les mêmes techniques que celles développées dans le cas de l’application conforme des polygones sur le disque. Pour cela, il associe au tétraèdre une intégrale analogue à celle du théorème de Schwarz -Christoffel (voir note n7) \[u - u_0 = C\int_{x_0 }^x {\left( {x - a} \right)^{\alpha - 1} \left( {x - b} \right)^{\beta - 1} \left( {x - c} \right)^{\gamma - 1} \left( {x - d} \right)^{\delta - 1} dx}\] dans laquelle a, b, c et d désignent des complexes et \(\alpha\), \(\beta\), \(\chi\) et \(\delta\) des réels positifs tels que \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2\).

   […] und beschäftigt sich mit dem Nachweise, dass in der Ebene (u) dieses Integrals sich stets das Netz \(U_{1}\) der Oberfläche U eines Tetraeders ABCD angeben lässt, auf welche die ganze Ebene (x) oder eine dieser Ebene entssprechende Kugelfläche conform abgebildet wird, so dass das gegenseitige Entssprechende der Punkte beider Flächen ein eindeutiges ist. Schwarz(1869a), (1890b, 84)

   ↩

9. Dans l’analyse de ses travaux scientifiques, Poincaré signale son ignorance, à l’époque, concernant le principe de Dirichlet et admet que ce principe peut servir à déterminer les fonctions fuchsiennes correspondant à certains groupes fuchsiens particuliers :

   Mais un problème important se posait : étant donné un groupe fuchsien, existe-t-il des fonctions uniformes inaltérées par les substitutions de ce groupe ? C’est ce que j’ai démontré et j’ai donné à ces fonctions le nom de M. Fuchs. Pour arriver à ce résultat, il eût été possible, dans certains cas particuliers, d’appliquer la proposition connue sous le nom de principe de Dirichlet, si souvent appliquée par Riemann et démontrée plus récemment par M. Schwarz . Je ne connaissais pas ce principe à cette époque, mais l’eussé-je connu, que je ne m’en serais pas servi ; car il ne pouvait me donner la solution du problème que dans certains cas particuliers et, même dans ces cas, il pouvait servir à démontrer l’existence de la fonction, mais il n’en donnait pas le développement analytique. Poincaré (1921, 45–46)

   La légendaire méconnaissance de Poincaré, à cette époque, des travaux de toute une partie de l’école allemande, et en particulier des travaux de Riemann, trouve ici son illustration. De plus, dans sa polémique avec Klein, Poincaré, obligé de combler certaines lacunes, est amené à lire les travaux de Schwarz concernant le problème de Dirichlet :

   Was ich über den Werth der Riemann’schen Prinzipien sagte, war nicht scharf genug. Es ist kein Zweifel, dass das “Dirichlet Prinzip”, als überhaupt nicht konklusiv, verlassen werden muss. Man kann es aber vollständig durch strengere Beweisführung ersetzen. Sie finden das näher ausgeführt in einer Arbeit von Schwarz , die ich eben erst in diesen Tagen (zwecks meiner Vorlesung) genauer ansah und in der Sie auch die Angaben über Konstantenbestimmungen finden, die in Borchards Journal […] nur angedeutet sind; dieselbe steht in den Berliner Monatsberichten 1870, p. 767-795. Julia & Pétiau, dirs., (1956, 43)

   Poincaré utilisera pourtant peu après le principe de Dirichlet et les résultats de Schwarz dans son article Sur un théorème de la théorie générale des fonctions Poincaré (1883); Valiron, dir., (1950, 57–69). En outre, il commandera les œuvres de Riemann comme le prouve un bordereau d’expédition de la maison d’édition Mayer et Müller daté du 24 août 1883 (AHP). Voir lettre n°30, note n°6.↩

10.  Schwarz s’intéresse dans cet article à déterminer dans quels cas les solutions de l’équation hypergéométrique sont algébriques :

    Alle Fälle zu ermitteln, in denen der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[\frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + \frac{{\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1} \right)x}} {{x\left( {1 - x} \right)}}\frac{{dy}} {{dx}} - \frac{{\alpha \beta }} {{x\left( {1 - x} \right)}}y = 0,\tag{A}\] von welcher die Gaussische hypergeometrische Reihe \(F\left( {\alpha,\beta ,\gamma } \right)\), als Function ihres vierten Elementes betrachtet, ein particuläres Integral ist, durch eine algebraische Function von x genügt werden kann. (1873, 211)

    Schwarz distingue deux cas, selon que l’équation admet une seule ou deux solutions algébriques (dont le quotient n’est pas une constante). Le premier cas relève de techniques classiques d’intégration des équations différentielles linéaires. Schwarz étudie, dans le second cas, les propriétés du rapport des deux solutions. Il établit à partir d’un résultat d’Abel la proposition suivante :

    Wenn der Quotient zweier Particularlösungen \(y_{1}\) und \(y_{2}\) einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[\frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + p\frac{{dy}} {{dx}} + qy = 0\] ohne constant zu sein, eine algebraische Function von x ist und es ist gleichzeitig \(e^{ - \int {pdx} }\) eine algebraische Function von x, so ist das allgemeine Integral der Differentialgleichung ebenfalls eine algebraische Function von x. (1873, 218)

    Schwarz étudie alors le quotient de deux solutions générales de l’équation : \[s = \frac{{C_1 y_1 + C_2 y_2 }} {{C_3 y_1 + C_4 y_2 }}\] et introduit une nouvelle équation satisfaite par s : \[\psi \left( {s,x} \right) = \frac{{2\frac{{ds}} {{dx}}\frac{{d^3 s}} {{dx^3 }} - 3\left( {\frac{{d^2 s}} {{dx^2 }}} \right)^2 }} {{2\left( {\frac{{ds}} {{dx}}} \right)^2 }} = 2q - \frac{1} {2}q^2 - \frac{{dp}} {{dx}}\]

    En posant \[\lambda ^2 = \left( {1 - \gamma } \right)^2 \quad \mu ^2 = \left( {\alpha - \beta } \right)^2 \quad \nu ^2 = \left( {\gamma - \alpha - \beta } \right)^2 \quad\] il vient : \[\psi \left( {s,x} \right) = \frac{{1 - \lambda ^2 }} {{2x^2 }} + \frac{{1 - \nu ^2 }} {{2(1 - x)^2 }} - \frac{{\lambda ^2 - \mu ^2 + \nu ^2 - 1}} {{2x(1 - x)}}.\]

    En utilisant les résultats de Riemann sur les solutions de l’équation hypergéométrique Riemann (1857) et des techniques de développement en série des solutions, il obtient le théorème :

    Die auf der positiven Seite der Axe des Reellen in der Ebene des Argumentes \(x\) liegende Halbebene \(E\) wird durch ein particuläres Integral der Differentialgleichung \[\psi \left( {s,x} \right) = \frac{{1 - \lambda ^2 }} {{2x^2 }} + \frac{{1 - \nu ^2 }} {{2(1 - x)^2 }} - \frac{{\lambda ^2 - \mu ^2 + \nu ^2 - 1}} {{2x(1 - x)}}\] wenn die drei Grössen \(\lambda ,\;\mu ,\;\nu\) reelle Werthe haben, conform abgebildet auf einen einfach zusammenhängenden, in seinem Inneren keinen Windungspunkt enthaltenden Bereich \(S\), dessen Begrenzung, allgemein zu reden, aus drei, ein Dreieck bildenden Kreisbogen besteht.

    Die Winkel dieses Kreisbogendreiecks S, deren Scheitel den singulären Werthen \(x = 0\), \(x = \infty\) und \(x = 1\) entsprechen, sind beziehlich \(\lambda \pi ,\;\mu \pi ,\;\nu \pi\). (1873, 231–32)

    Schwarz étudie alors les positions respectives des trois cercles qui composent le triangle curviligne obtenu et montre que l’on peut toujours se ramener à considérer parmi les triangles curvilignes obtenus celui dont la somme des angles est minimale et il montre que si s est une fonction algébrique de x alors le nombre de répliques du triangle obtenues par les réflexions par rapport aux côtés est fini.

    Dans le paragraphe V (1873, 239–43), il étudie le cas pour lequel la somme des angles de ce triangle curviligne est inférieure à \(\pi\). Il montre alors que les trois cercles auxquels appartiennent les trois côtés du triangle sont orthogonaux à un même cercle. Puis il affirme, sans démonstration, que l’on peut recouvrir le disque par des répliques de ce triangle (Une figure (1873, 240), correspondant au cas \(\lambda = 1/5\), \(\mu = 1/4\), \(\nu = 1/2\) illustre cette propriété), puis il déduit que s est une fonction transcendante de x puisque l’on obtient une infinité de triangles dans le cercle. C’est le passage cité par Poincaré. Il est indéniable que Schwarz ne montre pas que le recouvrement du disque par les triangles est infini et s’il associe cette condition à la transcendance de s, il ne lui associe pas explicitement l’action d’un groupe même si l’action de ce groupe est implicitement étudiée.

    Schwarz termine son article en examinant le cas pour lequel la somme des angles est supérieure à \(\pi\) et il montre que, en dehors de 15 cas qu’il décrit géométriquement, la fonction s est toujours transcendante.

    Pour une analyse de cet article beaucoup plus précise, et plus généralement pour l’histoire des fonctions fuchsiennes, on peut consulter le livre de Gray (2000) sur l’histoire de la théorie des équations différentielles linéaires de Riemann à Poincaré.↩

11. La citation exacte du texte de Schwarz est : “[…] wenn \(\lambda = \lambda'\), \(\mu = \mu'\), \(\nu = \nu'\) ist und gleichzeitig \(1/\lambda'\), \(1/\mu'\), \(1/\nu'\) drei ganze Zahlen sind” Schwarz(1873, 240).↩

12. Le problème auquel fait allusion Poincaré est au cœur de la théorie des groupes fuchsiens et fonde l’utilisation des techniques géométriques dans l’étude des fonctions fuchsiennes et des solutions des équations différentielles linéaires. En effet, Poincaré montre que ce problème est équivalent à la détermination des groupes fuchsiens :

    Le problème de la recherche des groupes fuchsiens se ramène donc au suivant : Subdiviser d’une façon régulière le plan, ou une partie du plan, en une infinité de région toutes congruentes entre elles. Poincaré (1882b); Darboux et al., dirs., (1916, 118)

    C’est en utilisant la géométrie hyperbolique que Poincaré dégagera la notion de polygone générateur et mettra en lumière la dualité entre les polygones vérifiant certaines propriétés et les groupes fuchsiens.↩

13. Dans ses Leçons sur la série hypergéométrique (1858, publiées par Noether et Wirtinger, (1902)), Riemann étudie le quotient de deux solutions de l’équation hypergéométrique et considère aussi la variable comme fonction de ce quotient mais ne pose pas la question des propriétés de cette fonction. Comme Poincaré le reconnaît, Schwarz pose la question de l’uniformité de cette fonction dans le cas de l’équation hypergéométrique. Fuchs (1876), (1906, 11–62) considère cette question dans le cadre général d’une équation linéaire du second degré.↩

14. Dans son mémoire Sur les fonctions fuchsiennes Poincaré (1882a), Darboux et al., dirs, (1916, 169–257), Poincaré signalera les articles sur le principe de Dirichlet Schwarz (1870), (1890b, 144–71) et (1872), (1890b, 175–210) et citera les résultats de l’article Ueber einige Abbildungsaufgaben Schwarz (1869b), (1890b, 65–83) :

    Dans divers Mémoires insérés aux Tomes 70 et 74 du Journal de Borchardt et aux Monatsberichte de l’Académie de Berlin, M. Schwarz a démontré d’une manière rigoureuse le principe dit de Dirichlet et la possibilité de l’Abbildung du cercle sur une figure plane quelconque et en particulier sur un polygone limité par des arcs de cercle. S’il avait connu les conditions de discontinuité des groupes, il aurait pu être conduit ainsi à démontrer l’existence des fonctions fuchsiennes dans le cas particulier où le polygone \(R_0\) est symétrique. Poincaré (1882a), Darboux et al., dirs., (1916, 256–57)

    ↩

15. Dans sa correspondance avec Klein, Poincaré est nettement moins péremptoire. En effet, tout en maintenant fermement son point de vue quant à l’appellation de ses fonctions, il reconnaît (après avoir pris connaissance du travail de Schwarz ) qu’il aurait “pris une autre dénomination s’il avait connu le travail de M. Schwarz ” (Poincaré à Klein, 27.06.1881).↩

Références