Apparat critique

1. Le premier fascicule des Acta mathematica paraîtra le 12 décembre 1882 Domar (1982).Voir lettre n°13, note n°13.↩

2. Klein (1883), Klein (1921).↩

3. Dans cet article, Klein expose l’essentiel de sa théorie des fonctions automorphes et établit en particulier le théorème d’uniformisation (Grenzkreistheorem) selon lequel toute surface de Riemann de genre supérieur ou égal à 2 peut être représentée d’une manière essentiellement unique par une fonction automorphe sans point de ramification et définie sur un domaine à frontière curviligne.

   Dans l’introduction, il compare les travaux publiés (c’est à dire les notes aux Comptes Rendus en 1881 et 1882) et l’article publié aux Mathematische Annalen Poincaré (1882), (1916, 92–105) de Poincaré et les siens :

   Man kennt die lange Reihe glänzender Publicationen, durch welche neuerdings Hr. H. Poincaré die allgemeine Aufmerksamkeit auf diese Functionen gelenkt hat. Ich meinerseits habe, mit ähnlichen Ideen bereits seit längerer Zeit beschäftigt, die Poincaré’schen Veröffentlichungen durch zwei Noten begleitet, in denen ich bestimmte Theoreme, welche für die Anwendungen der neuen Functionen von hervorragender Wichtigkeit sein dürften, formulirte. […] Vielleicht bringen die in Aussicht stehenden ausführlichen Abhandlungen des Hrn. H. Poincaré in dieser Hinsicht bereits die nothwendige Ergänzung. Die geometrische Denkweise bei Hrn. Poincaré, seine Anwendung des Continuitätbegriffes etc. dürften den meinigen sehr nahe stehen. Darüber hinaus aber hat Hr. Poincaré von vornherein das Analytische Bildungsgesetz der neuen Functionen mit Erfolg in Angriff genommen, auch versucht, bei gegebenen algebraischen Irrationalitäten zugehörige eindeutige Functionen mit linearen Transformationen in sich durch convergente Processe wirklich herzustellen. Klein (1883), (1921, 631–32)

   Dans une note, Klein rappelle la genèse des résultats de Poincaré et souligne l’ignorance surprenante dont fait preuve Poincaré en ce qui concerne les travaux de Riemann ; ceci explique selon Klein que l’on trouve dans ses premiers travaux des résultats déjà publiés par lui-même :

   Merkwürdigerweise hatte Hr. Poincaré, der seinerseits durch gewisse Entwickelungen des Hrn. Fuchs, über die ich mich weiter unten noch zu äussern haben werde, angeregt worden war, bis dahin die gesammte hier vorgenannte Literatur und wohl überhaupt jene specifische Functionentheorie, die von der Betrachtung der Riemann’schen Fläche, nicht gekannt. Es kann daher nicht Wunder nehmen, dass seine ersten Publicationen vielfache Einzelheiten enthalten, welche von unserer Seite bereits publicirt waren. Klein (1883, 143)

   A la fin de l’article (1883, 214–15), Klein revient à sa polémique avec Fuchs et réaffirme avec force que Fuchs n’a rien publié sur les fonctions uniformes se reproduisant par substitutions linéaires et possédant un cercle principal et que ses méthodes n’ont rien à voir les siennes :

   Auch habe ich meine damalige Methode keineswegs, wie Herr Fuchs es auf Grund meiner eigenen Angabe auf pag. 118 des 11\(^{ten}\) Annalenbandes zu deduciren sucht, der in Vergleich kommenden Fuchs’schen Arbeit vom Juli 1874 entnommen. Es ist seine Arbeit für mich der Anlass gewesen, um eine Fragestellung aufzugreifen, die mir bis dahin bloss unbestimmt vorschwebte; meine damalige Methode aber ruht durchaus selbständig auf meiner früheren, im Juli 1874 publicirten Bestimmung aller endlichen Gruppen linearer Substitutionen einer Verändlichen. Klein (1883, 216)

   Les notes polémiques de Klein ne seront pas reprises lors de publication de ses œuvres complètes.↩

4. La lettre de Poincaré à laquelle Mittag-Leffler répond par la présente est perdue.↩

5. Il s’agit de généraliser aux fonctions de deux variables le célèbre théorème de Weierstrass qui affirme qu’une fonction méromorphe définie sur le plan est le quotient de deux fonctions entières. Poincaré obtiendra cette généralisation en utilisant le principe de Dirichlet. Il est particulièrement intéressant de voir Poincaré, qui avouait une année auparavant ignorer ce principe (voir lettre n°18, note n°9), le généraliser et s’en servir pour résoudre une conjecture qui avait arrêté les meilleurs analystes de l’époque.

   Cette étude donnera lieu à deux publications en 1883 : une note aux Comptes rendus du 22 janvier 1883 (1883a), (1950, 144–46) et un mémoire aux Acta mathematica (1883b), (1950, 147–61)

   La démonstration de ce théorème que donne Poincaré en 1882 ne peut pas se généraliser aux cas d’un nombre quelconque de variables. Cette généralisation sera obtenue par Cousin dans sa thèse rédigée sous la direction de Poincaré (Cousin (1895), voir lettre n°119, note n°10).

   Voir lettres n°25, 26 et 27.↩

6. La question est de savoir si toute fonction de n variables, 2n fois périodique peut être exprimée comme un quotient de fonctions \(\Theta\) :

   Les fonctions \(\Theta\) de n variables indépendantes permettent, comme on sait, de former des fonctions uniformes de n variables avec 2n systèmes de périodes. Ces périodes ne sont pas arbitraires, car elles satisfont à \[n(n + 1)/2\] relations bien connues. Dans une conversation avec M. Hermite, lors de son voyage à Paris, en 1860, Riemann avait affirmé que ces relations devaient nécessairement exister entre les 2n systèmes de périodes de fonction uniforme de n variables, 2n fois périodique, tout au moins après une transformation de degré convenable effectuée sur ces périodes, mais il n’a jamais indiqué la marche qui l’a conduit à cette importante proposition. M. Weierstrass aurait depuis annoncé à quelques-uns de ses élèves qu’il possédait une démonstration du théorème précédent, mais l’illustre géomètre de Berlin n’a jamais à notre connaissance, publié ni indiqué la méthode dont il fait usage. Poincaré-Picard (1883, 307)

   Dans une lettre à Kovalevskaia, datée du 14 juin 1882, Weierstrass évoque cette question et explique sa méthode qui est analogue à celle de Picard et Poincaré :

   In Betreff der von Hermite und Picard an Dich gerichteten Frage will ich Dir für heute Folgendes mittheilen. […] Nach einer Bemerkung von Hermite (Note sur le calcul différentiel et le calcul intégral, p. 26) soll Riemann bewiesen haben, dass für jede 2r-fach periodische Function unter den Grössen die angegebenen Relationen stattfinden. In Riemanns Werken findet sich darüber nichts; […] Mit Hülfe eines Satzes, den ich in dem genannten Briefe ausgesprochen, kann man schliesslich folgendes beweisen:
   Jede 2r-fach periodische Function von r Variabeln lässt sich rational ausdrücken durch andere 2r-fach periodische Functionen derselben Veränderlichen, die so beschaffen sind, daß sie 2r primitive Perioden-Systeme besitzen, für welche die daraus gebildeten Grössen die oben angegeben Eigenschaften haben. […] Über diesen Gegenstand habe ich eine kleine Abhandlung fertig, die einer meiner Zuhörer, Herr Molk, ein Franzose, in’s Französische übersetzen wird. Bölling (1993, 270–72)

   Le mémoire annoncé par Weierstrass est considéré comme perdu par Mittag-Leffler :

   Ce mémoire est également disparu. Mittag-Leffler (1923, 188)

   Poincaré, dans l’analyse de ses travaux, reconnaît la similitude de sa démonstration avec celle de Weierstrass parue, en 1903, dans le tome 3 des œuvres de Weierstrass Werke 3 (1894, 53–114) :

   […] Nous reconnûmes qu’il devait y avoir entre les périodes les mêmes relations que dans le cas particulier des fonctions nées de l’inversion des intégrales abéliennes. […] La méthode que je viens d’exposer est celle même dont s’était servi M. Weierstrass et qu’il n’avait pas publiée ; c’est ce que nous reconnûmes quand après la mort du savant géomètre, nous reçûmes les bonnes feuilles du troisième volume de ses œuvres complètes.

   Il n’y avait que quelques différences de détail ; c’est ainsi que j’ai employé un moyen un peu différent pour démontrer un Lemme indispensable, d’après lequel il y a toujours une relation algébrique entre p fonctions à p variables et à 2p périodes. Poincaré (1921, 82)

   On peut conclure que Kovalevskaia n’a jamais envoyé à Poincaré les démonstrations de Weierstrass.

   Après Appell qui avait obtenu une démonstration originale Appell (1891), Poincaré reviendra sur ce problème et proposera une troisième démonstration du théorème de Weierstrass Poincaré (1897), (1950, 469–72) et Poincaré (1898), (1950, 162–243) adaptant son travail sur les fonctions de 2 variables poincaré (1883a), (1950, 147–61) (voir lettre n°142).↩

7. Cantor a publié en 1882 la troisième partie de son mémoire Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1882). D’autre part, les parties 4 et 5 Cantor (1883a) et (1883b) en seront publiées en 1883 dans le tome 21 des Mathematische Annalen mais ont respectivement été écrites en septembre et octobre 1882. Comme Mittag-Leffler était un des rares mathématiciens à soutenir le travail de Cantor, on peut penser que celui-ci lui avait fait part de son travail en cours.↩

8. Mittag-Leffler fait sans aucun doute allusion à son projet de publier certains travaux de Cantor dans les Acta mathematica. Néanmoins, à cette date, le projet de traduire en français certains mémoires importants écrits en allemand n’avait pas réellement émergé et la traduction en français des mémoires de Cantor n’était donc pas encore à l’ordre du jour.
   
   Voir lettre n°28, note n°3.↩

9. Voir lettre n°21, note n°3.↩

Références