Washington le Juin, 1890¹

À Monsieur H. Poincaré, Membre de l’Institut

Cher Monsieur,

Permetter me de vous indiquer un problème qui me paraît digne de votre admirable génie : c’est celui des inégalités qui peuvent être produites dans le mouvement de la lune par l’action des planètes. Les observations de la lune depuis 1670 montrent qu’il y a des inégalités dans ce mouvement notablement dans la longitude moyenne, qui ne sont pas produites par l’action du Soleil. Si elles sont réelles l’action des planètes est la seule cause à laquelle on peut les attribuer.

Je pense depuis vingt ans à une méthode d’aborder le problème que j’ai indiquée dans le Journal de M. Liouville pour 1870.² Mais j’ai trouvé que l’application pratique de cette méthode demande des calculs analytiques et numériques tellement longues et compliqués que je n’ai pu les achever.

J’ai cherché vainement à trouver quelque transformation des équations du problème qui peut rendre plus facile les calculs nécessaires à sa solution. Voilà pourquoi je prends la liberté de attirer votre attention au sujet en espérant que, sans bien de difficulté, vous pouvez trouver une telle transformation ou au moins montrer qu’elle n’est pas possible.

Je pose

\(X\), \(Y\), \(Z\), co-ordonnées rectangulaires du Soleil rapportées au centre de gravité de la terre et de la lune;

\(x\), \(y\), \(z\), celles de la lune rapportées au centre de la terre;

\(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(m_4\), les masses du Soleil, de la terre, de la lune, et d’une planète;

\(x_4\), \(y_4\), \(z_4\), co-ordonnées de la planète rapportées au Soleil. \[\begin{aligned} \mu_1 &= \frac{m_1(m_2 + m_3)}{m_1 + m_2 + m_3}\\ \mu_2 &= \frac{m_2 m_3}{m_2 + m_3}\\ \Delta &= x(x_4 + X) + y(y_4 + Y) + z(z_4 + Z)\\ \rho &= \left\{(x_4 + X)^2 + (y_4 + Y)^2 + (z_4 + Z)^2\right\}^\frac{1}{2}\\ R^2 &= X^2 + Y^2 + Z^2\\ r^2 &= x^2 + y^2 + z^2\\ r_4^2 &= x_4^2 + y_4^2 + z_4^2\\ W &= \text{angle entre}\ R\ \text{et}\ r.\end{aligned}\] La part de la fonction de force qui concerne le mouvement relatif des trois corps Soleil, Terre, Lune peut être réduite à la forme suivante: \[\begin{aligned} \Omega &= \Omega_0 + \Omega_1 + \Omega_2\\ \Omega &= \frac{m_1(m_2 + m_3)}{R} + \frac{m_2m_3}{r}\\ \Omega_1 &= \frac{1}{2} m_1\mu_2\frac{r^2}{R^3}(3\cos^2W - 1)\\ \Omega_2 &= m_4\mu_1\left( \frac{1}{\rho} + \frac{x_4 X + y_4 Y + z_4 Z}{r_4^3}\right) + m_4\mu_2 \left( \frac{3}{2}\frac{\Delta^2}{\rho^5} - \frac{1}{2}\frac{r^2}{\rho^3}\right).\end{aligned}\]

Alors les six équations différentielles du mouvement relatif sont \[\begin{aligned} \mu_1 \frac{d^2 X}{dt^2} &= \frac{\partial\Omega}{\partial X}\\ \text{et mêmes pour Y et Z,} \mu_2 \frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{\partial\Omega}{\partial x}\end{aligned}\] et mêmes pour \(y\) et \(z\).

La solution demande trois approximations.

Première Approximation

On néglige \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\). La solution est celle du mouvement elliptique : \(x\), \(y\), \(z\) sont exprimés en fonction de six constantes arbitraires et \(X\), \(Y\), \(Z\) en fonction de six autres constantes arbitraires.

Deuxième approximation

On pose \(\Omega = \Omega_0 + \Omega_1\); la solution est de la forme \[x, y, z, X, Y, Z = f(a_1, a_2, \ldots, a_6, a_1', \ldots, a_6', t).\tag{1}\] On peut choisir les douze constantes \(a_1, \ldots, a_6, a_1', \ldots, a_6'\) de telle sorte que, quand \(\Omega_1\) s’évanouit, \(a_1, \ldots, a_6\) deviennent ceux du mouvement elliptique de \(x\), \(y\), \(z\), et \(a_1', \ldots, a_6'\) celles du mouvement elliptique de \(X\), \(Y\), \(Z\).

La partie la plus difficile de cette approximation est achevée par notre excellent ami feu M. Delaunay dans sa “Théorie du mouvement de la Lune.”³

Troisième Approximation

On tient compte de \(\Omega_2\) en faisant varier les douze éléments (1) par la méthode de Lagrange. Maintenant, nous arrivons au point délicat du problème. Le travail de Delaunay nous donne les valeurs de \(x\), \(y\) et \(z\) dans la forme \[x, y, z = f(a_1, \ldots, a_6, a_1', \ldots, a_6', t).\tag{2}\] La détermination des valeurs variables de \(a_1', \ldots, a_6'\) dues à l’action de \(m_4\) n’offre aucune difficulté, et comme on peut censer ces variations comme actuellement existantes,⁴ on est porté à supposer que la méthode de solution la plus simple doit consister en regardant les douze éléments comme simultanément variables. Telle est la méthode que j’ai imaginée. Pour l’appliquer il faut former les valeurs de \[\begin{align} \frac{\partial \Omega_2}{\partial a} &= \frac{\partial\Omega_2}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial a} + \frac{\partial\Omega_2}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial a} + \frac{\partial\Omega_2}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial a}\tag{3}\\ &+ \frac{\partial\Omega_2}{\partial X}\frac{\partial X}{\partial a} + \frac{\partial\Omega_2}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial a} + \frac{\partial\Omega_2}{\partial Z}\frac{\partial Z}{\partial a}.\tag{4}\end{align}\]

Maintenant, voilà la difficulté : Quoique les valeurs de \(\frac{\partial X}{\partial a}\) soient moindres que celles \(\frac{\partial x}{\partial a}\) dans le rapport \[\frac{m_3}{m_2} \frac{r}{R} = 1\div 25\,000\,000,\] cependant, \(\partial \Omega_2/\partial X\) est plus grand comme \(\partial \Omega_2/\partial x\) dans le même rapport; ainsi (3) et (4) sont du même ordre de grandeur. Aussi, le calcul analytique de \(X\), \(Y\), \(Z\) en fonction de \(a_1, \ldots, a_6\) paraît demander un travail comparable avec celui de Delaunay; et je désire naturellement éviter ce travail.⁵

Maintenant : voilà comment on peut éviter ce travail par ce qu’on peut appeler la méthode ordinaire, comme Delaunay l’a appliquée dans son calcul des inégalités de longue période produit par l’action de Vénus sur la lune (Appendix à la Conn. du Temps 1862?)⁶ On regarde \(a_1', \ldots, a_6'\) dans (2) comme des constantes numériquement données, \(a_1, \ldots, a_6\) comme seules variables et, en \(\Omega_2\), \(X\), \(Y\), \(Z\) comme fonctions du temps numériquement données. Ainsi \(\partial X/\partial a\) disparaît des équations et son calcul n’est pas nécessaire.

Les deux questions qui se présentent sont :

1. Cette seconde méthode est-elle bien rigoreuse?

2. Y a-t-il un rapprochement possible des deux méthodes qui combine la rigueur de l’une avec la facilité de l’autre?