Nice le 12 Avril 1896

Cher Monsieur,

Je me permets de vous adresser les résultats que j’ai obtenus au sujet de l’orbite d’Hécube (108).

D’après les indications que vous avez bien voulu me donner, j’ai introduit une constante de plus dans mes formules qui n’en contenaient que 3 au lieu de 4. De plus j’ai tenu compte, pour les termes principaux, du carré de l’excentricité ; j’ai ainsi obtenu, dans les expressions du périhélie et de l’excentricité, le terme en \(\begin{array}{l}\sin\\\cos\end{array}(J - \overline{3\theta_0 - g_0}t)\) que j’avais introduit empiriquement au mois d’octobre dernier pour diminuer les résidus.¹

J’ai résolu à nouveau les équations qu’on obtient par la méthode d’identification de Delaunay; pour cela je me suis servi de ce que j’avais une valeur approché de chacune de ces inconnues pour négliger certains termes et en conserver d’autres, sans tenir compte de l’exposant de la masse perturbatrice.

En outre dans l’expression du demi grand-axe, j’ai introduit un terme à longue période contenant le carré de la masse. Enfin j’ai déterminé les perturbations périodiques les plus importantes du demi grand-axe, de la longitude moyenne, du périhélie et de l’excentricité. En se servant des formules de Le Verrier, on trouve les coefficients suivants exprimés en secondes d’arc :

pour la longitude:

et pour l’excentricité :

Le terme à longue période contenant le carré de l’excentricité de l’orbite de Jupiter a toujours été négligé; par suite je n’ai pas tenu compte des perturbations à courte période contenant ce carré ; le plus fort des termes ainsi négligés a pour coefficient 36” de longitude.

Les formules qui m’ont servi sont, en ne transcrivant pas les perturbations à courte période et en posant : \(\mathcal{L} = \sqrt{a}\), \(\lambda=\) longitude moyenne, \(\xi = \sqrt{L}e\cos\varpi\), \(\eta = \sqrt{L}e\sin\varpi\),² \[\begin{aligned} \mathcal{L}&=G_0 + A - \frac{G_0}{2}B^2 - \frac{E_1^2}{2}\cos^2\theta_0t - BE_1G_0\cos\theta_0t + B'E_1G_0\sin\theta_0t\\ &\quad + A_1\cos\left(J - \overline{\theta_0 - g_0}t - g' - h'\right),\\ \lambda&=J + nt + A\frac{\partial(\theta_0 - g_0)}{\partial G_0}t + \frac{3}{2G_0^3}B^2t + B(\theta_1 - g_1)\sin\theta_0t + B'(\theta_1 - g_1)\cos\theta_0t\\ &\quad + B^2(\theta_2 - g_2)\sin 2\theta_0t - C + B_1\sin(J - \overline{\theta_0 - g_0}t - g' - h'),\\ \xi&=\left[E_1\sqrt{G_0} + A\frac{\partial(E_1\sqrt{G_0})}{\partial G_0} + \sqrt{G_0}E'B^2\right]\cos(J - \overline{\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad + \left[AE_1\sqrt{G_0}\frac{\partial(\theta_0 - g_0)}{\partial G_0} + \frac{3e_1\sqrt{G_0}}{2G_0^3}B^2\right]t\sin(J - \overline{\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad + B\sqrt{G_0}\cos(J + g_0t) - B'\sqrt{G_0}\sin(J + g_0t) + BE_2\sqrt{G_0}\cos(J - \overline{2\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad + B^2E_3\sqrt{G_0}\cos(J - \overline{3\theta_0 - g_0}t) + C_1\cos(g' + h'),\\ \eta&=\left[E_1\sqrt{G_0} + A\frac{\partial(E_1\sqrt{G_0})}{\partial G_0} + \sqrt{G_0}E'B^2\right]\sin(J - \overline{\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad - \left[AE_1\sqrt{G_0}\frac{\partial(\theta_0 - g_0)}{\partial G_0} + \frac{3e_1\sqrt{G_0}}{2G_0^3}B^2\right]t\cos(J - \overline{\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad + B\sqrt{G_0}\sin(J + g_0t) + B'\sqrt{G_0}\cos(J + g_0t) + BE_2\sqrt{G_0}\sin(J - \overline{2\theta_0 - g_0}t)\\ &\quad + B^2E_3\sqrt{G_0}\sin(J - \overline{3\theta_0 - g_0}t) + C_1\sin(g' + h').\\\end{aligned}\] Vu la difficulté du calcul des coefficients \(\theta_1\) \(g_1\) \(\theta_2\) \(g_2\) etc. …, j’ai conservé ces notations malgré leur complication. Les valeurs numériques des constantes de ces formules sont :

J’ai mis entre crochets [ ], au lieu des nombres, leurs logarithmes. On obtient ainsi les éléments d’Hécube rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe de 1850,0; l’époque est 1897 septembre 23,5, temps moyen de Berlin.³

Je rappelle rapidement qu’on a posé \(\theta=\lambda-2\lambda'\), puis \[\begin{aligned} \theta&=&\theta_0(t+c) + \theta_1\sin\theta_0(t+c) + \theta_2\sin 2\theta_0(t+c)\\ g&=&g_m + g_0(t+c) + g_1\sin\theta_0(t+c) + g_2\sin 2\theta_0(t+c)\\ e&=&e_0 + e_1\sin\theta_0(t+c) + e_2\sin 2\theta_0(t+c) + e_3\sin 3\theta_0(t+c)\\\end{aligned}\] \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) peuvent se mettre sous la forme \(\begin{array}{|rcl}e_1&=&E_1 + E'e_0^2\\ e_2&=&E_2e_0 + \frac{E_2'}{e_0}\\ e_3&=&E_3e_0^2 + \cdots\\ \end{array}\)

Les formules qui donnent \(\Omega\), longitude du nœud ascendent et \(i\), inclinaison de l’orbite, sont: \[\begin{gathered} \operatorname{tg}(\Omega - J + \overline{\theta_0 - g_0}t) =[0,001810]\operatorname{tg}\left[ [\overline{1}.996483](353^{\circ}15'9'' - J +\overline{\theta_0 - g_0}t)\right]\\ i=[\overline{2}.886269]\left\{[\overline{1}.996486] - [\overline{3}.616297]\cos[0,297543]\{353^{\circ}15'9'' - J + \overline{\theta_0 - g_0}t\}\right\}^{\frac{1}{2}}\end{gathered}\]

En comparant les ascensions droites et les déclinaisons données par les observations et par ces formules, on obtient les différences: \(o-c\)⁴

Etant donnés ces résidus, au lieu de calculer des lieux normaux, j’ai conservé, pour chaque opposition, une observation fictive, moyenne de plusieurs observations faites le même soir par divers observateurs.

On peut remarquer que les observations de 1871 et de 1892 sont distantes d’environ 21 ans, et que les arguments \(3\lambda'-2\lambda\), \(3\lambda'-\lambda\), \(5\lambda'-3\lambda\) et \(\lambda'\) ont pour période environ 11 ans. Je crois devoir attribuer ces deux résidus, non pas aux termes périodiques que j’ai négligés, mais plutôt à la suppression de tous les termes de \(e^3\). D’ailleurs monsieur Perrotin⁵ a bien voulu me faire remarquer que dans le \(n^\circ\) 368 de l’astronomical Journal p. 62, M Hill a trouvé pour la longitude de moyenne de Cérés des résidus de \(-40''\) en 1857 et \(+40''\) en 1866, quoique les éléments de cette planète ne présentent rien de particulier.⁶

Comme je ne pouvais diminuer mes résidus en changeant le moyen mouvement, l’époque ou la masse, et que j’avais rencontré de grandes difficultés dans les calculs des divers coefficients numériques, j’ai cherché des coefficients empiriques; le premier terme de \(\xi\) et de \(\eta\) difficile à calculer donnerait de meilleurs résultats si on lui ajoutait le coefficient empirique: \([\overline{3}.231551]_n\). On peut remarquer aussi que le terme \(B^2E_3\sqrt{G_0}\cos(J - \overline{3\theta_0 - g_0}t)\) est plus important que le terme \(BE_2\sqrt{G_0}\cos(J - \overline{2\theta_0 - g_0}t)\). En outre on voit aisément que les observations de 1871–74–75 seraient mieux représentées si on diminuait la longitude du périhélie, et celles de 1892–94, si on l’augmentait. L’introduction du terme à longue période contenant le carré de l’excentricité de l’orbite de Jupiter ne donnerait pas de meilleurs résultats.

En résumé je ne vois pas comment avec les formules données plus haut, on peut obtenir des résidus inférieurs à ceux que j’ai transcrits ci-dessus. Je recours donc encore une fois à vos bienveillants conseils, trop heureux si vous êtes un peu satisfait des efforts que j’ai faits et des résultats obtenus.

Je vous prie de vouloir bien excuser la longueur de cette lettre.

Daignez agréer, cher Monsieur, l’expression de toute ma gratitude et de mon entier dévouement,

M. Simonin