LettreWalther von Dyck à Henri Poincaré - 12 janvier 1884

Leipzig, 12. Januar 1884.

Hochgeehrter Herr,

Endlich komme ich dazu, es ist \(3/4\) Jahre her, daß ich Sie in Paris aufgesucht, etwas von mir hören zu lassen1.

Der unmittelbare Anmaß ist der kleinere Aufsatz, den ich mir beifolgend zu übersenden erlaube, der sehr vage mit Ihrer letzten Publikation in den Acta zusammenhängt (für deren freundliche Übersendung ich bestens nachträglich danke)2.

Ich habe mich, im Sommer vorigen Jahres noch, viel mit der Frage nach regulären Raumverteilungen beschäftigt und bin dabei zu einer Reihe von speziellen Formulierungen gelangt (über die Art der dabei auftretenden Eckpunkte und über die verschiedenen dabei entstehenden Gebietsverteilungen der Normalkugel.)3.

Speziell hatte ich dabei die Fälle von Tetraederverteilungen mit Symmetrie betrachtet, deren Typen leicht aufzählbar sind.

Als ich nun im Herbst Ihren Aufsatz aus den Acta erhielt, fand ich da vor allem den Satz dass jeder Gruppe linearer Substitutionen, sofern sie nur endliche Substitutionen enthält, eine Raumverteilung der genannten Art entspreche ? ein Satz den ich wol auch vermutet hatte, aber nicht beweisen konnte.

Da wollte ich doch eine vorläufige Notiz über meine eigenen Studien an diesen schönen Satz anknüpfen, zumal da in Ihrem Aufsatz die räumlichen Einteilungen nur beiläufig behandelt sind und ich auf Beispiele gekommen war (vergl. Beispiel \(2\) u. \(3\), pag \(71-73\)), die sich in Ihrer Formulierung nicht fanden. Ich denke daß eben diese Beispiele intereßant werden, wenn es sich um das Studium zugehöriger Functionen handelt. Gelingt es nämlich, zunächst Functionen 3er reeller Veränderlicher zu bilden, welche bei den Raumtransformationen der hier gegebenen Gruppen in sich übergehen, und läßt sich ein Übergang von diesen Funktionen zu denen eines complexen Argumentes auf der Fundamentalkugel Normalkugel herstellen so hat man in der letzteren durch den Raum hindurch Gebiete analytisch vereinigt, für welche sich, da sie in der Kugel selbst durch Grenzlinien völlig von einander getrennt sind, zunächst keine analytische Fortsetzung der Funktionen in einem Gebiete in das des zweiten möglich war.

Ich möchte an die vorliegende Notiz anknüpfend zunächst die rein geometrische Seite der regulären Raumverteilungen ausführlicher behandeln & hoffe dann auch der eben erwähnten functionentheoretischen Seite dieser Frage näher treten zu können4

Nun laßen Sie mich Ihnen noch eine Mitteilung machen, die in den letzten Monaten mich sehr beschäftigt hat; nämlich die, daß ich einen Ruf als ordentlicher Professor an die technische Hochschule (école polytechnique) in München angenommen habe5. Es ist die durch den Weggang Professor Lüroth’s (den Sie ja wol in Paris haben kennen lernen & der nach Freiburg übergesiedelt ist) erledigte Professur. Ich habe grobes Glück gehabt, denn gleichzeitig hatte ich einen Ruf an das Polytechnicum in Hannover erhalten; doch zog ich München vor, da dort der Einfluß auf den mathematischen Unterricht und das wißenschaftliche Lehren ohne Vergleich bedeutender ist als in Hannover, wo es sich lediglich um Ausbildung der Techniker handelt. Ich werde mit dem kommenden Semester (also im April) nach München übersiedeln.

Professor Klein geht es in diesem Jahre recht gut. Er arbeitet eifrig an einer größeren Darstellung einer Icosaedertheorie und deren Zusammenhang mit den Gleichungen 5. Grades6. In einem Seminar, das Prof. Klein und ich gemeinsam abhalten, haben wir den Cours von Mr. Hermite zu Grunde gelegt um die neueren functionentheoretischen Arbeiten, von Weierstraß und Mittag-Leffler beginnend und Ihre Functionen mit linearen Transformationen in sich einbegriffen – durchzusprechen7. Ich selbst habe dabei die schönste Gelegenheit, alle die Dinge, die ich bei meinem Aufenthalt in Paris habe kennen lernen, nun wieder gründlich zu verarbeiten.

Darf ich noch bitten, mich Ihrer hochgeehrten Frau Gemahlin bestens zu empfehlen, deren freundliche Aufnahme ich in dankbarer Erinnerung halte. Noch möchte ich Sie ersuchen mich bei Mr. Hermite, bei Mr. Picard, Appell, Halphen, C. Jordan... und allen den Herrn, die sich meiner noch erinnern bestens zu empfehlen. Ich gedenke oft und mit Freuden der freundlichen Aufnahme, die ich bei Ihnen in Paris gefunden.

Sehr würde ich mich freuen, wenn mein Bericht Ihnen Anlaß gäbe, mir bei Gelegenheit auch von Ihnen und Ihren Arbeiten zu erzählen.

Stets bin ich, hochgeehrter Herr
Ihr ganz ergebener

Walther Dyck

Leipzig. Königstraße 6.


Apparat critique

  1. Walther Dyck avait rencontré Poincaré lors de sa visite à Paris en 1883 (voir p. ).↩︎

  2. La date de cette lettre et ce qui suit sur les sous-groupes finis du groupe linéaires laissent penser qu’il s’agit du mémoire de Poincaré (1883)sur les groupes kleinéens.↩︎

  3. (Dyck 1883). Quelques années plus tard, Édouard Goursat (1889) fait lui aussi le lien entre les articles de Poincaré et Dyck sur les divisions régulières de l’espace en une infinité de régions \(R_0,\,R_1,\,\ldots\,,R_i,\,\ldots\) telles que chaque région \(R_i\) se déduise de la région \(R_0\) au moyen d’une transformation \(S_i\) résultant d’une suite d’inversions. (Goursat 1889, 9).↩︎

  4. La recension d’Eugen Netto de l’article de Dyck (1883) précise les remarques de Dyck :

    Herr Poincaré hat den Satz aufgestellt: ”Die Gruppen linearer Substitutionen \(\omega'=\frac {\alpha\omega +\beta}{\gamma\omega +\delta}\) lassen sich als reguläre Einteilungen des Raumes in endliche Polyeder deuten, deren Flächen durch die Fundamentalkugel oder auf ihr senkrecht stehende Kugeln gebildet werden.” Herr Dyck bemerkt, dass in gleicher Weise eine Einteilung des Inneren der Kugel möglich sei, bei der ausser Stücken der Kugel noch Ebenen als Begrenzungsflächen auftreten. Diese Deutung hat den Vorzug, dass Vorkommnisse ausserhalb der Kugel realisirt erscheinen, die in der ersten Darstellung imaginär waren. Vereinigt man die durch Substitutionen einander entsprechenden Flächen, so entsteht ein geschlossener Raum, dessen Grenzflächen durch Kugelstücke, die sich selbst entsprechen, gebildet werden; hierdurch kommt man zum Begriffe des ”Zusammenhanges”. Je nachdem vermöge der Substitutionen um eine Kante Drehungen möglich sind oder nicht, heisst dieselbe unveränderlich oder veränderlich. Aehnliche Definitionen gelten für unveränderliche und veränderliche Ecken. Die unveränderlichen Ecken geben durch ihre Lage zur Kugel ein Unterscheidungsprincip der Einteilungen ab. Eine Anzahl passend gewählter Beispiele erläutert die getroffenen Festsetzungen. (Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 15 (1883), p. 110)

    ↩︎
  5. Walther Dyck est nommé professeur au Polytechnikum de Münich en 1884.↩︎

  6. (Felix 1884). Pour une présentation pédagogique de la théorie de Klein qui repose sur l’isomorphisme entre le groupe des symétries de l’icosaèdre et le groupe alterné \(A_5\), voir (Bavard 1994). Voir aussi (Christian 2003 chapitre 7) et (Gray 1986 chapitre 4).↩︎

  7. (Charles 1882). Dans la recension qu’il fait du cours d’Hermite, Jules Tannery (1882) insiste sur l’importance des travaux de Weierstrass et Mittag-Leffler pour les leçons concernant la théorie des fonctions d’une variable complexe et les applications de celle-ci à l’étude des intégrales eulériennes et des fonctions elliptiques. Il pointe aussi l’originalité du point de vue d’Hermite :

    Dans les quatre Leçons qui suivent, M. Hermite expose les conséquences immédiates du théorèmes de Cauchy et les principes dus à M. Weierstrass et à M. Mittag-Leffler, de la théorie des fonctions uniformes ; il y donne la décomposition d’une fonction transcendante entière en facteurs primaires et l’expression générale des fonctions uniformes admettant un nombre infini de points singuliers, isolés, essentiels ou non, dont l’ensemble admet le point \(\infty\) pour limite unique, expression donnée par M. Mittag-Leffler dans les Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences pour l’année 1882. La marche suivie par M. Hermite est celle qu’il a ouverte dans sa lettre au géomètre suédois, insérée dans le tome xii des Acta Societatis Scientarum Fennicæ. Dans cette lettre, à la vérité, le théorème de M. Mittag-Leffler n’est établi que dans le cas où tous les points singuliers sont des pôles ; mais la même méthode conduit au théorème général.
    Le professeur s’arrête ensuite un peu [...] sur les intégrales eulériennes : la forme donnée par M. Weierstrass à la fonction \(\frac{1}{\Gamma(x)}\), celle que M. Prym a obtenue pour la fonction \(\Gamma(x)\) elle-même, fournissent des applications immédiates des résultats établis dans les Leçons précédentes ; [...]
    Dans les deux Leçons qui suivent, il développe comme dans la lettre déjà citée à M. Mittag-Leffler, cette idée si simple et si naturelle que la notion de coupure et ce genre de discontinuité auquel elle correspond s’offrent d’eux-mêmes , au début du calcul intégral, dans la considération d’une intégrale définie où figure un paramètre variable. (Jules 1882, 170–71)

    ↩︎

Références

Bavard, Christophe. 1994. “La Surface de Klein.” Le Journal de Mathématiques Des élèves de L’ENS de Lyon 1: 13–22.

Charles, Hermite. 1882. Cours de M. Hermite, Rédigé En 1882 Par M. Andoyer, élève à L’École Normale. Paris: Hermann.

Christian, Houzel. 2003. La Géométrie Algébrique. Recherches Historiques. Paris: Blanchard.

Dyck, Walther. 1883. “Ueber Die Durch Gruppen Linearer Transformationen Gegebenen Regulären Gebietseinteilungen Des Raumes.” Berichte über Die Verhandlungen Der Königlich Sächsischen Gesellschaft Der Wissenschaften Zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse 35: 61–75.

Felix, Klein. 1884. Vorlesungen über Das Ikosaeder Und Die Auflösung Der Gleichungen Vom Fünften Grade. Leipzig: Teubner.

Goursat, Édouard. 1889. “Sur Les Substitutions Orthogonales et Les Divisions Régulières de L’espace.” Annales Scientifiques de L’École Normale Supérieure (3) 6: 9–102.

Gray, Jeremy. 1986. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré. Boston: Birkhäuser.

Jules, Tannery. 1882. “Hermite (C.) – Cours Professé Pendant Le 2 Semestre de L’année 1881-82, Rédigé Par M. Andoyer, élève de L”Ecole Normale Supérieure.” Bulletin Des Sciences Mathématiques et Astronomiques (2) 6: 169–74.

Poincaré, Henri. 1883. “Mémoire Sur Les Groupes Kleinéens.” Acta Mathematica 3: 49–92.

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Walther von Dyck à Henri Poincaré - 12 janvier 1884

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1884-01-12

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« Walther Von Dyck à Henri Poincaré - 12 Janvier 1884 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Les mathématiciens. Archives Henri Poincaré, s. d., Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, accessed 31 October 2020, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/10706

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