Apparat critique

1. Poincaré (1892).↩︎

2. Poincaré consacre un paragraphe aux recherches de M. Hill sur la lune dans le chapitre consacré aux solutions périodiques du premier tome de son traité de mécanique céleste ; il reprend dans ce paragraphe l’étude de Hill du cas particulier du problème des trois corps lorsque la masse d’un des corps (\(C\)) est très grande par rapport à celle des deux autres corps et que la distance entre le corps le plus massique (\(C\)) et un des autres corps (\(A\)) est très grande :

   Si, en même temps, on rapporte la masse \(B\) à deux axes mobiles, à savoir un axe \(A\xi\) coïncidant avec \(AC\) et à un axe \(A\eta\) perpendiculaire au premier, les équations du mouvement deviendront comme M. Hill l’a démontré, \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{d^2\xi}{dt^2}-2n\frac{d\eta}{dt}+(\frac{\mu}{r^3}-3n^2)\xi=0\\ \frac{d^2\eta}{dt^2}-2n\frac{d\xi}{dt}+(\frac{\mu}{r^3})\eta=0\; ; \end{array} \right.\] où \(n\) désigne la vitesse angulaire de \(C\). Les solutions de la première sorte subsistent encore dans ce cas et ce sont celles dont M. Hill a reconnu le premier l’existence, ainsi qe l’ai dit plus haut. [...]
   Les équations (1) admettent une intégrale qui s’écrit \[\frac{1}{2}\left(\frac{d\xi}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{d\eta}{dt}\right)^2-\frac{\mu}{2r}-\frac{3}{2}n^2\xi^2=C. \mbox{(}\]

   Hill étudie alors numériquement les variations de la trajectoire périodique en fonction de \(C\).

   The method of employing numerical values, from the outset, in the equation of condition, determining the \(a_i\), is far less laborious than the literal development of these coefficient in powers of a parameter. Hill (1878, 245)

   La forme de la trajectoire rappelle grossièrement celle d’une ellipse dont le grand axe serait l’axe des \(\eta\) . Lorsque \(C\) augmente, l’excentricité augmente et Hill montre que pour une certaine valeur \(C_0\) de \(C\), la courbe présente deux points de rebroussement situés sur l’axe des \(\eta\). Hill dénomme cette orbite, Moon of maximum lunation:

   Any information regarding the motion of satellites having long periods of revolution about their primaries will doubtless be welcome, as the series given by previous investigators are inadequate for showing anything in this direction. Hence this chapter will be terminated by a table of the more salient properties of the class of satellites having the radius at a minimum in syzygies and at a maximum in quadratures. For this end I have selcted, besides the earth’s moon, taken for the sake of comparison, the moons of 10, 9, 8, ..., 3 lunations in the periods of their primaries, and also what may be called the moon of maximum lunation, as, of the class of satellites under discussion, exhibiting the complete round of phases, it has the longest lunation. Hill (1878, 250)

   Hill termine son article par une série de courbes construites point par point représentant la trajectoire de la lune terrestre, des lunes présentant quatre et trois lunaisons ainsi que celle de lune de lunaison maximum :

   The moons in the first lines of the table have paths which approach the ellipse quite closely, but the paths of the moons of the last lines exhibit considerable deviation from this curve, while the orbit of the moon of maximum lunation has sharp cusps at the points of quadrature. (Hill 1878, 260)

   Graphique p. 260 de Hill 1878 Hill affirme sans démonstrations ni même justification qu’au delà de la valeur critique \(C_0\), les solutions périodiques n’existent plus ou du moins se réduisent à des oscillations qui n’intersectent pas l’axe \(\eta\) des quadratures :

   Wether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures, and that the moons describing them would make oscillations to and fro, never departing as much as \(90^o\) from the point of conjunction or of opposition. Hill (1878, 259)

   Poincaré montre que la classe de satellites découvertes par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de lunaison maximum Poincaré (1892, 108) et il étudie la forme de l’orbite de la lune au delà de la valeur critique :

   La trajectoire relative pour \(C>C_0\) présente donc la forme représentée par la figure ci-contre.
   Dessin p. 109 de mnmc 1
   Dans le cours d’une période, la masse \(B\) se trouve six fois en quadrature, car sa trajectoire relative coupe l’axe des \(\eta\) en deux points doubles et en deux points simples.

   
   Ainsi M. Hill se trompe en supposant que cette sorte de satellites ne seraient jamais en quadrature ; il y aurait, au contraire, trois quadratures entre deux syzygies consécutives. Poincaré (1892, 10)

   ↩︎

3. Hill a raison. Il faut lire l’analyse de Poincaré en remplaçant \(C>C_0\) par \(C<C_0\) ou comme le suggère Hill remplacer \(C\) par \(1/C\) dans l’expression de l’intégrale première.↩︎

4. Hill ne publie aucun article en mécanique céleste théorique entre 1880 et 1895. Durant cette période, il est occupé, dans le cadre du programme de travail proposé par Newcomb de reconsidérer l’ensemble des mouvements des planètes du système solaire, par la théorie de Saturne et de Jupiter Hill (1890). Après sa retraite en 1892, il reprend ses études théoriques et publie plusieurs articles sur le problème des trois corps et sur la théorie de Delaunay (Hill 1895, 1900, 1902).↩︎

Apparat critique

Hill, George William 1878 Researches in the lunar theory. American Journal of Mathematics 1 (1–3), pp. 5–26, 129–147, 245–260. ↩︎

———.1890. A New Theory of Jupiter and Saturn. Washington: United States Nautical Almanac Office.↩︎

———.1895 The periodic solution as a first approximation in the lunar theory. Astronomical Journal 15, pp. 137–143. ↩︎

———. 1900. “Extension of Delaunay’s method in the lunar theory to the general problem of planetary motion.” Transactions of the American Mathematical Society 1: 205–42.↩︎

———.1902 Illustrations of periodic solutions in the problem of three bodies. Astronomical Journal 22, pp. 93–97, 117–121.↩︎

Poincaré, Henri. 1892 Les Méthodes Nouvelles de La Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars.↩︎