[Ca. 10.06.1897]¹¹Le manuscrit porte deux annotations, de deux mains inconnues: “10 Juin 1897” et “Soutenue le 10 juin”.

La thèse déposée par M. Mascart a pour objet l’étude des planètes télescopiques.²²Mascart 1897. Jean Mascart (1874–1935 fut le fils d’Élie Mascart, le beau-frère de Marcel Bertrand, et le beau-frère de Marcel Brillouin. À propos de sa carrière, voir Véron (2016). Elle se divise en deux parties bien distinctes. La première est une sorte d’étude statistique de ces astéroïdes, la seconde est un essai théorique relatif à leurs perturbations.

Dans la 1^re partie, l’auteur commence par étudier la distribution des petites planètes par moyens mouvements croissants. Il a mis ainsi en évidence un certain nombre de faits intéressants. C’est ainsi que dans certains intervalles, les planètes récentes (et par conséquent les plus petites) paraissent dominer ; dans d’autres intervalles c’est le contraire.

Un travail analogue est fait ensuite pour les autres éléments par exemple pour les longitudes des nœuds, dont la distribution ne semble nullement régulière. Il semble que lorsque le moyen mouvement est presque commensurable avec celui de Jupiter, la longitude du nœud a une tendance à se rapprocher ce celle de Jupiter.

Un fait analogue est signalé en ce qui concerne les périhélies qui pour les mêmes régions semblent se rapprocher des nœuds.

L’existence de «   lacunes  » correspondant aux valeurs commensurables du rapport des moyens mouvements a été depuis longtemps signalée ; M. Mascart fait de ces lacunes une étude approfondie ; il est remarquable que l’on trouve dans le voisinage de ces lacunes, plus de planètes récentes que de planètes anciennes.

La distribution des astéroïdes,³³Variante: “La loi de variation distribution … ”. soit par rapport aux excentricités croissantes, soit par rapport aux inclinaisons croissantes, donne lieu à des observations analogues. Pour certaines inclinaisons on voit dominer les planètes anciennes.

On voit aussi que les planètes à fortes excentricités ont leurs moyens mouvements compris entre certaines limites ; et d’ailleurs les fortes excentricités sont d’ordinaire accompagnées de fortes inclinaisons.

Enfin certaines coïncidences curieuses sont signalées ; il arrive souvent que deux petites planètes ont un élément presque commun, ou que deux, 3, 4 ou même 5 différences entre les éléments homologues sont à la fois très petites. Après avoir recherché ces coïncidences, l’auteur montre par l’application du calcul des probabilités qu’elles sont vraisemblablement dues au hasard.

Ces recherches ont nécessité un travail long, pénible et ingrat, et elles ont conduit M. Mascart à certaines constatations qui nous seront utiles plus tard ; on doit donc lui savoir gré de les avoir entreprises.

Dans la seconde partie, l’auteur s’est proposé de rechercher les principales perturbations du mouvement d’une petite planète sous l’influence de Jupiter.

Il suppose l’inclinaison nulle et néglige également l’excentricité de Jupiter ; il est ainsi ramené au problème connu sous le nom de problème restreint.

Éliminant le temps, il arrive, comme M. Callandreau, à une équation du 2^d ordre.

Il suppose l’excentricité très petite, et le rapport des moyens mouvements presque commensurable ; il peut ainsi développer suivant les puissances de quantités de l’ordre des excentricités, et suivant celle de la différence $\epsilon$ entre le rapport des moyens mouvements et un nombre commensurable.

On remarque que dans la première approximation où le mouvement se réduit au mouvement Képlérien, les formules se présentent déjà sous une forme très différente de celle à laquelle on est accoutumé.⁴⁴Variante: “… de celle à laquelle on est accoutumé. Elles offrent quelques complications que l’auteur”. Un artifice très simple aurait d’ailleurs permis d’en diminuer la complication.⁵⁵Variante: “… la complication. L’auteur prend pour variab”.

M. Mascart applique ces méthodes, peut-être un peu pénibles, aux planètes dont le moyen mouvement est voisin des $\frac{21}{8}$ de celui de Jupiter et en particulier des planètes (203) et (160).

Poincaré

En résumé, l’intéressant travail de M. Mascart dénote, chez l’auteur, une sagacité réelle au point de vue de la discussion des faits, outre une solide et étendue connaissance de l’Analyse ; qualités qui en justifient pleinement l’admission comme thèse de doctorat Mathématique.

G. Darboux

J. Boussinesq

La soutenance de la thèse et la réponse aux questions ont été satisfaisantes.

J. Boussinesq

ADS 4p. AJ/16/5536, Archives nationales françaises.