[Ca. 27.04.1898]¹¹Le manuscrit porte une annotation de main inconnue: “27 avril 1898”.

Rapport sur la Thèse de M. Le Roy intitulée Sur l’Intégration des Équations de la Chaleur²²Voir Édouard Le Roy 1898b, 1898c, 1898a.

L’étude de la propagation de la chaleur est l’un des problèmes classiques de la Physique Mathématique; c’est pour le résoudre que Fourier a dote cette science de ses méthodes les plus fécondes, et malgré les progrès accomplies, le mathématicien a toujours intérêt à y revenir, non seulement à cause des applications immédiates à la physique, mais surtout à cause du retentissement que toute découverte faite dans ce domaine ne peut manquer d’avoir dans toutes les autres parties de la Physique Mathématique.

Il était intéressant de revenir sur le problème de Fourier, en utilisant les résultats relatifs à la théorie du potentiel obtenus récemment par de nombreux géomètres et les méthodes dont ces géomètres se sont servis; c’est ce qu’a fait M. Le Roy dans une thèse pleine d’aperçus originaux.

Dans la première partie de sa thèse, l’auteur étudie les équations de l’équilibre thermique au point de vue de la généralisation du principe de Dirichlet.

L’équation à intégrer est de la forme suivante :

et la solution cherchée $V$ est assujettie en outre à certaines conditions de continuité et à prendre des valeurs données sur une surface fermée.

Dans un grand nombre de cas, le problème ne comporte qu’une solution; et M. le Roy commence par étudier cette proposition qui a été démontrée d’abord par M. Picard. En se servant d’une remarque de M. Paraf, l’auteur complète sur certains points les résultats de M. Picard, qu’il retrouve d’ailleurs et qu’il expose d’une manière originale.³³Amédée Paraf 1892.

Abordant ensuite le cas où l’équation (1) est linéaire et où

est une différentielle exacte, M. Le Roy se préoccupe de démontrer la possibilité du problème. Ses méthodes sont calquées sur celles qui servent à établir le principe de Dirichlet, mais elles ne supposent pas ce principe établi, sauf dans le cas des domaines sphériques.

Après avoir démontré un théorème analogue à celui de Harnack M. Le Roy résout le problème pour une sphère et pour un domaine limité par deux sphères concentriques.⁴⁴Voir Le Roy (1898c, 418). Il y arrive par une combinaison de la méthode des approximations successives de M. Picard et du procédé alterné de M. Schwarz. Pour étendre le résultat à un domaine quelconque, l’auteur se sert de la méthode du balayage, qu’il adapte à son objet nouveau par d’ingénieux perfectionnements.

Cette première partie se termine par d’intéressantes propositions relatives aux équations non linéaires.

Dans la seconde partie de sa thèse, l’auteur étudie des fonctions qu’il appelle fondamentales et qui sont des potentiels de simple couche satisfaisant sur la surface attirante à l’équation:

Ces fonctions ne sont pas identiques à celles que M. Poincaré a étudiées dans son travail sur la méthode de Neumann et qui satisfont à l’équation:

mais elles peuvent se traiter de la même manière et avec un succès analogue.

Il est à remarquer que pour ces fonctions nouvelles, la démonstration peut s’étendre aux surfaces multiplement connexes.

Par une généralisation facile, M. le Roy introduit d’autres fonctions fondamentales définies par l’équation

$\varphi$ étant une fonction donnée.

Ces fonctions généralisées jouissent des mêmes propriétés.

Pour un choix particulier de la fonction $\varphi$, M. le Roy retombe sur les fonctions de M. Poincaré, mais en pouvant les étendre aux surfaces multiplement connexes.

Ainsi le théorème de Neumann, démontré d’abord par M. Neumann pour les surfaces convexes, puis par M. Poincaré pour les surfaces simplement connexes est vrai pour une surface quelconque.

La troisième partie de cette Thèse est consacrée au problème de Fourier; il s’agit de calculer à un instant quelconque la température des différents points d’un corps solide. On se donne les températures initiales; on suppose que les points de la surface du solide sont maintenus à des températures données et qu’il y a à l’intérieur des sources de chaleur dont l’intensité varie suivant une loi donnée. On peu ramener aisément le problème au cas où la température superficielle est maintenue constamment nulle, et où il n’y a pas de source intérieure de chaleur.

Pour obtenir ce dernier résultat, l’auteur utilise d’une manière ingénieuse l’intégrale de Fourier.

Il reste à aborder le problème ainsi réduit et pour cela M. Le Roy se sert d’une généralisation de la méthode du balayage mais pour que l’application de cette méthode soit possible, il faut d’abord résoudre le problème de Fourier dans le cas d’une sphère et dans celui d’un espace limité par deux sphères concentriques.

M. Le Roy a recherché ensuite si la solution ainsi trouvée peut se mettre sous la forme d’une série procédant suivant les fonctions fondamentales. Sous ce rapport, il a dû se contenter de deux résultats partiels, mais intéressants. La série représente bien la fonction pourvu qu’elle soit convergente. D’autre part, si la convergence ne peut être démontrée rigoureusement que dans des cas particuliers, on peut toujours représenter la fonction par un polynôme dont tous les termes sont des fonctions fondamentales et cela avec telle approximation que l’on veut.

L’auteur applique les mêmes principes à l’équation des membranes vibrantes et à celle des télégraphistes en supposant au lieu d’un conducteur linéaire, un conducteur à deux ou à trois dimensions.

L’ensemble de cette thèse me paraît constituer un travail fort remarquable, où l’auteur a montré de grandes qualités de justesse d’esprit, de sagacité et d’invention mathématique. Nous estimons donc qu’il y a lieu d’en autoriser l’impression.

Poincaré

La soutenance de la thèse de M. Le Roy a été très bonne et a confirmé l’excellente impression que nous avait laissée le travail écrit. Il n’est pas douteux que M. Le Roy soit destiné a faire des recherches scientifiques vraiment intéressantes; il sera tout a fait à sa place dans l’Enseignement supérieur et la mention très honorable qui lui a été accordée par le Jury doit compter parmi les meilleures de celles qui ont été attribuées dans ces dernières années.

Le doyen

G. Darboux

ADS 4p. AJ/16/5536, Archives nationales françaises. Le rapport de Poincaré a été publié dans Gispert (1991, 372–374).