[Ca. 05.11.1907]¹¹Le manuscrit comporte une annotation au crayon, d’une main inconnue: “5 novembre 1907”.

Si l’on considère les développements de la fonction perturbatrice dans le cas où les excentricités sont nulles et l’inclinaison quelconque, on voit que les coefficients ne dépendent plus que de deux variables qui sont l’inclinaison $J$ et le rapport des grands axes $\alpha$.²²Lambert 1907. Mais il est naturel d’élargir le problème en posant

et en traitant $\mu$ et $\nu$ comme des variables indépendantes ; quitte à faire à la fin du calcul $\nu =1-\mu$; c’est ce qu’a fait autrefois Tisserand et c’est ainsi qu’il est arrivé à mettre en évidence le lien entre les coefficients étudiés et les polygones hypergéométriques de M. Appell.

M. Lambert commence par former les équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coefficients considérés comme fonctions de 3 variables indépendantes $alpha$, $\mu$, $\nu$. La 1^re équation qu’il trouve et qui est du 2^d ordre n’est pas la même pour les coefficients d’un même développement, mais dépend des nombres $p$ et $q$ qui définissent le rang du coefficient étudié. La seconde équation, indépendante de ces nombres est du 1er ordre ; et on en peut déduire par différentiation diverses équations du 2d ordre. Enfin une dernière équation du 2d ordre dépend comme la 1ère des nombres $p$ et $q$ ; mais l’auteur la laisse de côté et ne s’occupe que des deux premières.

Entre ces deux équations, il est possible d’éliminer $\nu$, de façon à obtenir une équation unique à laquelle doit satisfaire le coefficient $\mathrm{\Pi }$, regardé non plus comme fonction des 3 variables indépendantes $alpha$, $\mu$, $\nu$, mais de 2 variables $\alpha$ et $\mu$, en supposant que $\nu$ a été remplacé par sa valeur $1-\mu$. Nous revenons donc au problème primitif, et laissons le problème élargi par l’introduction d’une 3e variable indépendante. L’équation aux dérivées partielles du 2d ordre à laquelle arrive M. Lambert n’est pas la seule la fonction étudiée est assujettie ; elle doit satisfaire également à d’autres équations de même forme plus compliquées, mais que l’auteur laisse de côté, et il s’efforce d’appliquer à l’équation qu’il conserve toutes les ressources de la théories des équations aux dérivées partielles.

Il détermine sans difficulté les caractéristiques et il ramène l’équation à la forme de Laplace canonique

il détermine une solution particulière simple de cette équation, ce qui permet l’application de la transformation de Moutard. Cette transformation permet de ramener les unes aux autres les équations auxquelles satisfont les différents coefficients ; elle permet par conséquent de déterminer tous ces coefficients quand on connaît d’entre eux, ou plus exactement d’intégrer complètement toutes les équations quand on sait intégrer deux d’entre elles.

Pour arriver à ce dernier résultat l’auteur applique la méthode de Riemann qui permet de trouver l’intégrale générale d’une équation de cette forme quand on connaît une intégrale particulière d’une autre équation de même forme appelée équation adjointe. Dans le cas particulier qui nous occupe, l’équation est identique à son adjointe. Elle peut d’ailleurs s’écrire :

Les intégrales particulières cherchées qui permettent l’application de la méthode de Riemann peuvent se former aisément par le moyen de la série hypergéométrique. La méthode de Riemann est donc applicable ; il n’en est pas de même, au moins dans tous les cas, pour les équations auxquelles satisfont les autres coefficients ; on peut bien former de nombreuses solutions particulières, mais qui ne sont pas toujours celles qui conviennent à la méthode de Riemann. Heureusement les relations linéaires entre les coefficients nous permettent de revenir toujours aux cas où la méthode est applicable.

Dans la IV° partie, M. Lambert regarde le coefficient comme fonction d’une seule des variables $\alpha$ et $\mu$ ; cette fonction satisfait alors à une équation du 4e ordre. L’auteur indique la manière de former cette équation, mais il ne pousse pas les calculs jusqu’au bout, et il se borne à prévoir la forme de l’équation et le degré des polynômes qui lui servent de coefficients.

On voit que M. Lambert a appliqué avec beaucoup de sagacité des méthodes connues, mais dont l’application est délicate, à une équation qui se présente comme ayant une grande importance en Mécanique Céleste. Les résultats qu’il a obtenus ainsi sont nouveaux et intéressants et nous estimons qu’il y a lieu de l’autoriser à faire imprimer sa thèse et à la soutenir.

Poincaré

ADS 3p. AJ/16/5539. Archives nationales françaises.