Paris, le 8 Avril 1884

Monsieur,

J’avais bien compris que \(w\) contenait la seconde constante d’intégration \(\omega\) et que par conséquent on devait écrire dans la 1ère approximation \[x=\eta_0\cos w\] et non \(\eta_0\cos w+\eta'_0\sin w\). Dans ces conditions, il est clair que dans la 2de approximation, il n’y aura pas de terme en \(\sin w\). Mais dans la 3e approximation et les suivantes, cela n’est plus évident bien que cela soit encore vrai.

Voici d’ailleurs un exemple qui vous fera mieux comprendre mon objection. Soit: \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2x=\lambda x\cos t+\mu x^3\sin t\] Première approximation¹ \[x=\eta_0\cos w\] Deuxième approximation² \[\begin{aligned} \nu=0\qquad x_1&=&\eta_0\cos w+a \cos(w+t)+b\cos(w-t)+c\sin(w+t)+\\ &&d\sin(t-w) +e\sin(t+3w)+f\sin(t-3w)\end{aligned}\] L’équation s’écrira ensuite pour la 3e approximation³ \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2(1-\nu)x=-n^2\nu_1 x_1+\lambda x_1\cos t+\mu x_0^3\sin t+3\mu x^2_0(x_1-x_0)\sin t\] Dans le second membre, il pourrait y avoir des termes en \(\sin w\), dont le coefficient serait \[\frac{3}{2}\lambda(c+d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)-\frac{3}{8}\mu(a-b) \tag{1}\] Il est possible que je me sois trompé sur les signes des coefficients \(a,b,c,d\) dans l’expression (1) vous le vérifierez aisément.⁴ D’ailleurs voici l’expression (1) rectifiée: \[\frac{3}{2}\lambda(c-d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)+\frac{3}{8}\mu(a-b) \tag{1}\] Il est aisé de vérifier que cette expression (1) est nulle, mais cela n’était pas évident a priori et cela l’est encore moins pour les approximations suivantes, bien que je considère le fait en lui-même comme certain. Une démonstration générale serait bien désirable.

Je passe au second point traité dans votre lettre. Il importe d’abord de bien préciser ce que l’on doit entendre par convergence.

Vos séries se présentent sous la forme suivante \[S_0+\lambda S_1+\lambda^2 S_2+\ldots \tag{2}\] \(\lambda\) étant un coefficient de l’ordre des masses.

On a ensuite \[S_i=\sum A_i\cos(mw+nt+p)\tag{3}\] et enfin vous posez: \[w=\omega+t(\sigma_0+\lambda\sigma_1+\lambda^2\sigma_2+\ldots) \tag{4}\] Ainsi les termes de la série (2) sont eux-mêmes des séries trigonométriques dont l’un des arguments s’exprime lui-même par une série (4). Cela posé, on peut concevoir deux modes principaux de convergence de la série (2):

Premier mode.

La série (4) est convergente de sorte que \(w\) est parfaitement déterminé. Les séries (3) sont convergentes pour toutes les valeurs de \(t\). La série (2) qui a pour termes la somme des diverses séries (3) est convergente également, mais pour certaines valeurs de \(t\) seulement.

Ce premier mode de convergence ne saurait convenir pour la démonstration de la stabilité, mais il convient pour le calcul des perturbations pendant un intervalle de temps limité (à courte échéance).⁵

Deuxième mode.

La série (4) est encore convergente; posons: \[A=A_0+\lambda A_1+\lambda^2 A_2+\ldots \tag{5}\] où \(A_i\) est comme nous l’avons supposé plus haut le coefficient d’un certain terme \(\cos(mw+nt+p)\) dans la série \(S_i\). Supposons que les séries (5) soient convergentes et mettons la série (2) sous la forme: \[\sum A\cos(mw+nt+p). \tag{6}\] Si la série (6) est convergente, elle l’est toujours et c’est là le deuxième mode possible de convergence de la série (2).

Ce second mode est le seul qui convient pour la démonstration de la stabilité (et encore faut-il que la convergence soit uniforme) et pour le calcul des perturbations à longue échéance.

Voici maintenant ce que je pense de ces deux modes de convergence. En premier lieu je crois, sans l’avoir démontré, que la série (2) est convergente. Les séries (3) ne seront pas convergentes en général si on les prend sous la forme brute que donne l’intégration. Mais il sera toujours possible en groupant les termes d’une manière convenable de leur rendre la convergence qui ne sera toutefois pas uniforme. (Ces difficultés ne se présenteraient pas si le second membre était formé d’un nombre fini de termes dont les coefficients ne dépendissent que d’un argument.) Cela posé la série (2) serait convergente pour les petites valeurs de \(t\).

Les séries (5) seraient convergentes en général, mais la série (6) ne le serait pas. Voilà ce que je suis porté à croire, sans en avoir toutefois de démonstration rigoureuse.

Ainsi vos séries présenteraient le premier mode de convergence, mais non le second; elles pourraient donc servir au calcul à courte échéance, mais non à la démonstration de la stabilité. C’est dans ce sens qu’il faut entendre le dernier paragraphe de ma note du 24 Décembre.⁶ Vous trouverez dans les Comptes Rendus une note⁷ sur l’équation qui nous occupe et qui m’intéresse beaucoup; car, beaucoup plus simple que les équations des trois corps, elle présente cependant les mêmes particularités et il est probable que tout ce qu’on démontrera sur elle, s’applique sans peine au problème des trois corps.

Votre bien dévoué

Poincaré