Apparat critique 

1. Lindstedt a publié en 1882 et 1883 plusieurs articles concernant le problème des trois corps (Lindstedt (1883b)) et la question de l’intégration des équations différentielles de la théorie des perturbations (Lindstedt (1883a), (1882b), (1882a), (1883c)) dans lesquels il développait sa théorie des développements en série trigonométrique des solutions de l’équation \[\frac{d^2x}{dt^2}+n^2x = \Psi_0 + \Psi_1x + \Psi_2x^2 + \dots\] Dans son mémoire publié à l’académie des sciences de Saint Petersbourg, Lindstedt ((1883a)) étudie deux exemples; le premier lorsque les coefficients \(\Psi\) sont des constantes et le second concerne l’équation qui va faire l’objet début de la correspondance entre Poincaré et Lindstedt: \[\frac{d^2x}{dt^2}+(n^2 - 2\beta\cos(\lambda t + b))x =0.\] L’objectif de Lindstedt est de proposer une méthode directe pour obtenir des développements trigonométriques des solutions de ces équations:

   Astronomisch zu reden besteht die Aufgabe hier einerseits darin zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eine für alle endlichen Werthe von \(t\) konvergente Darstellung von \(x\) durch eine trigonometrische Reihe mit reellem Argument möglich ist, und andererseits darin das Integral wirklich aufzustellen. [...]

   Ich will zunächst eine direkte Integrationsmethode angeben, die deshalb von Interesse zu sein scheint, weil bisher keine solche bekannt war, und weil sie sich ausserdem auf sehr elementare, analytische Hülfsmittel gründet. In praktischer Hinsicht dürfte dieselbe dagegen wohl kaum einen Werth haben. (Lindstedt (1883a), 3)

   À l’époque du début de la correspondance avec Lindstedt, Poincaré commençait à s’intéresser à ces questions depuis une année (Poincaré (1882), (1883)).↩︎

2. Lindstedt introduit l’équation différentielle \[\frac{d^2x}{dt^2}+(n^2 - 2\beta\cos(\lambda t + b))x =0\] en rappelant que Gyldén réduit l’estimation de l’évection à la résolution d’une suite d’équations de ce type et qu’elle joue aussi un rôle important dans la théorie des vibrations d’une membrane (Lindstedt (1883a), 10-11). Hugo Gyldén avait publié dans les Comptes rendus de l’Académie des sciences, trois notes concernant l’intégration de cette équation en expliquant qu’il obtenait ce type d’équation lorsqu’il étudiait la question des variations séculaires du problème des trois corps (Gyldén (1881b, 1881a, 1881c)):

   On sait, par les travaux prodigieux qu’exigeait la théorie de la Lune, quelles difficultés présente encore la solution du problème des trois corps, même dans le cas où le développement de la fonction perturbatrice s’effectue très aisément. Ce sont, en première ligne, la détermination des variations séculaires et celle des grandes inégalités à longues périodes qui offrent à l’Analyse mathématique l’occasion de manifester son pouvoir de nous faire comprendre les secrets de la nature. Permettez-moi de vous communiquer, sur le problème dont je vous ai parlé, quelques détails qui se rapportent à la détermination des grandes inégalités à longues périodes.

   Après avoir effectué diverses transformations, je suis parvenu à l’équation suivante, \[\frac{d^2 V}{du^2} + \alpha^2 \sin V \cos V = X,\] dont l’intégration donne une partie de l’angle compris entre le rayon vecteur et l’axe fixé dans le plan mobile de l’orbite. Dans cette équation, j’ai désigné par \(u\) une fonction du temps, choisie de manière que le développement de la fonction perturbatrice devienne aussi aisé que possible. Puis par \(\alpha^2\) est désigné un coefficient constant dont la valeur numérique peut être considérée comme une quantité de premier ordre; ainsi \(X\) signifie une somme de termes périodiques à divers arguments dont les coefficients retsent toujours petits. (Gyldén (1881b), 1033-1034)

   En désignant par \(V_0\) la solution de l’équation sans second membre et en posant \(V = V_0 + V_1\), Gyldén obtient l’équation : \[\frac{d^2 V_1}{du^2} + \alpha^2 \sin V_1 \cos (2V_0 + V_1) = X,\] soit en développant et négligeant les termes de l’ordre \(\alpha^2 V_1^2\), \[\frac{d^2 V_1}{du^2} - \alpha^2 (2\sin V_0^2 -1) V_1 = X.\] Gyldén désigne par \(\nu_0\) la longitude intermédiaire et par \(r_0\) le rayon vecteur intermédiaire (c’est-à-dire les coordonnées polaires dans l’orbite intermédiaire du corps dont on examine le mouvement(Gyldén (1881a), 1262)). Gyldén associe à chaque point de l’orbite intermédiaire un point de l’orbite réelle en posant pour les coordonnées \(r\) et \(\nu\) de l’orbite réelle: \[r=r_0(1+\nu), \qquad \nu=\nu_0+ \chi.\] Gyldén propose d’appeler \(r_0\nu\) l’évection et \(\chi\) la variation. Il déduit donc de la position intermédiaire la position vraie en multipliant le rayon intermédiaire \(r_0\) par un facteur correctif \(\frac{1}{1-r_0\rho}\) (en posant \(r_0\rho=\frac{\nu}{1+\nu}\)) et en ajoutant à la longitude intermédiaire la variation. La détermination de la variation conduit à des équations du type \[\frac{d^2 V}{du^2} + \alpha^2 \sin V \cos V = X,\] et celle de \(\rho\) en intégrant une équation différentielle du type \[\frac{d^2\rho}{d\nu_0^2}+\rho(1+\Psi_1)=\Psi_0+\Psi_2\rho^2+\Psi_3\rho^3+\ldots\] dans laquelle les fonctions \(\Psi_0,\;\Psi_1, \ldots\) forment des séries renfermant des termes périodiques, mais aussi des termes constants(Gyldén (1881a), 1264).

   La méthode de Lindstedt consiste à écrire la solution générale sous la forme d’une série: \[x = \sum_{i=-\infty}^{i=+\infty}\mu_i\cos(\omega+i(\lambda t + b))\] où \(\displaystyle\omega = n(1 - \sigma)t + \pi\) et \(\sigma = - \frac{\beta^2}{n^2(\lambda^2-4n^2)}\). Lindstedt introduit pour des raisons de commodité d’écriture le paramètre \(m\) défini par \(m = n(1-\sigma)\) ce qui permet d’écrire \(\omega = mt + \pi\). Lindstedt conclut que les inconnues du problème sont alors les coefficients \(\mu\) et le paramètre \(m\). En introduisant la série (2) dans l’équation différentielle (1), il obtient des équations de récurrence sur les \(\mu_i\) \[\mu_i(n^2-(m+i\lambda)^2) = \beta(\mu_{i-1}+\mu_{i+1})\] et une estimation de \(m\) qui, développée au 3 ordre par rapport à \(\beta\) permet de déterminer une première valeur approchée: \[m = n(1 + \frac{\beta^2}{n^2(\lambda^2-4n^2)}.\] En introduisant cette valeur approchée dans les équations de récurrence, Lindstedt améliore l’approximation de \(m\). Le processus peut s’itérer mais Lindstedt précise qu’en général, la seconde approximation est suffisante pour les applications astronomiques. Il n’y a de problème que lorsque la première estimation de \(m\) n’est pas définissable:

   In den allermeisten Fällen der Störungstheorie wird die zweite Berechnung ausreichen. Nur in gewissen Fällen, vor allen Dingen wenn \(\lambda\) sich von \(2n\) nur um Grössen erster Ordnung unterscheidet, ist es damit nicht genug. Alsdann wird nämlich, wie man sofort übersieht, der angegebene erste Werth von \(m\) nur bis auf Grössen zweiter Ordnung genau, und während weiter im allgemeinen Falle ein Coefficient \(\mu_i\) oder \(\mu_{-1}\) von der Ordnung \(i\) ist, so wird dagegen in dem erwähnten Fall \(\mu_{-1}\) von der nullten Ordnung, was gerade einem elementären Gliede entspricht. Es ist weiter zu bemerken, dass das Auftreten eines sekulären Gliedes in diesem Falle wohl möglich, aber nicht wahrscheinlich ist.

   Da nämlich \(m = n(1-\sigma)\) ist, so sieht man, dass nur wenn entweder \[\lambda = \frac{n\sigma}{i} = \frac{1}{i}(n - m)\] oder \[\lambda = -\frac{2n}{i} + \frac{n\sigma}{i} = -\frac{1}{i}(n + m)\] \(\mu_i\) unendlich gross wird, was eben das Vorkommen eines sekulären Gliedes charakterisirt. (Lindstedt (1883a), 13)

   Poincaré se trompe dans l’énoncé de la condition de Lindstedt: il faut lire dans le cas où \(m \pm n\) est multiple de \(\lambda\). Voir la lettre du 25/8/1883 ( Poincaré à Lindstedt, 1883-08-25 ) dans laquelle Poincaré montre explicitement que dans les cas où \(m \pm n\) est un multiple de \(\lambda\) il n’y a pas de terme séculaire.↩︎

Références