Auxerre le 4 juin 1885.

Monsieur et cher Collègue,

Je vous remercie de votre complaisance à me répondre¹ et, au risque d’en abuser, je viens vous donner quelques indications sur les nouvelles intégrales que j’espère obtenir dans le problème des trois corps. Je ne connais pas la solution de Bour; mais je vous en dirai assez pour que vous puissiez juger ma méthode et me dire si elle rentre dans celle de Bour.²

Les neuf équations du mouvement des trois corps rapportées à un système fixe d’axes rectangulaires peuvent être représentées par le symbole \[\tag{1} \frac{d^2u^{(i)}}{dt^2}=m^{(j)}f\frac{u^{(j)}-u^{(i)}}{r^{(k)3}}+m^{(k)}f \frac{u^{(k)}-u^{(i)}}{r^{(j)3}} \qquad(9)\] où l’on désigne par \(\underline{u}\) l’une quelconque des trois coordonnées \(x\), \(y\), \(z\), par \(r\) la distance de deux points et par \((i)\), \((j)\), \((k)\) trois accents consécutifs pris à volonté dans la série \('\), \(''\), \('''\), \('\), \(''\), …Les sept intégrales premières connues des équations (1) peuvent être comprises sous les types symboliques suivants: \[ m'\frac{du'}{dt}+m''\frac{du''}{dt}+m'''\frac{du'''}{dt}=a,b\; \text{ou}\; c \qquad(3) \tag{2}\\ \begin{aligned} m'\left(v'\frac{du'}{dt}-u'\frac{dv'}{dt}\right)&+m''\left(v''\frac{du''}{dt}-u''\frac{dv''}{dt}\right)\\ &+m'''\left(v'''\frac{du'''}{dt}-u'''\frac{dv'''}{dt}\right)=\gamma,\alpha\; \text{ou}\; \beta \qquad (3), \end{aligned}\tag{3}\] (\(u\), \(v\) représentant deux coordonnées consécutives dans la série \(x\), \(y\), \(z\), \(x\), …) \[\frac{1}{2}\sum m^{(i)}\left(\frac{dx^{(i)2}}{dt^2}+\frac{dy^{(i)2}}{dt^2} + \frac{dz^{(i)2}}{dt^2}\right) = \frac{m'm''f}{r'''}+\frac{m''m'''f}{r'}+\frac{m'''m'f}{r''}+k. \qquad (1) \tag{4}\] Il faut y ajouter trois intégrales secondes représentées par le symbole \[m'u'+m''u''+m'''u'''=at+a'\; \text{ou}\;bt+b'\; \text{ou}\;ct+c'.\qquad (3) \tag{5}\] Voici l’idée qui s’est présentée à mon esprit.

Changeons de coordonnées, et, recourant à un système polaire connu, posons \[\left\{ \begin{aligned} x^{(i)}&=R^{(i)}\sin \varphi^{(i)}\cos\psi^{(i)},\\ y^{(i)}&=R^{(i)}\sin \varphi^{(i)}\sin\psi^{(i)},\\ z^{(i)}&=R^{(i)}\cos\varphi^{(i)}.\\ \end{aligned} \right.\tag{6}\] La substitution de ces valeurs dans les trois équations (5) nous donnera \(R'\), \(R''\), \(R'''\) en fonction de \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\). En posant \[\left\{ \begin{aligned} D&=-\cos\varphi'\sin \varphi''\sin\varphi'''\sin(\psi''-\psi''')\\ &\quad-\cos\varphi''\sin \varphi'''\sin\varphi'\sin(\psi'''-\psi')\\ &\quad-\cos\varphi'''\sin \varphi'\sin\varphi''\sin(\psi'-\psi''),\\ N'&=(at+a')(\sin \varphi''\sin\psi''\cos\varphi'''-\sin \varphi'''\sin\psi'''\cos\varphi'')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi''\sin\varphi'''\cos\psi'''-\cos \varphi'''\sin\varphi''\cos\psi'')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi''\sin\varphi'''\sin(\psi'''-\psi''),\\ N''&=(at+a')(\sin \varphi'''\sin\psi'''\cos\varphi'-\sin \varphi'\sin\psi'\cos\varphi''')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi'''\sin\varphi'\cos\psi'-\cos \varphi'\sin\varphi'''\cos\psi''')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi'''\sin\varphi'\sin(\psi'-\psi'''),\\ N'''&=(at+a')(\sin \varphi'\sin\psi'\cos\varphi''-\sin \varphi''\sin\psi''\cos\varphi')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi'\sin\varphi''\cos\psi''-\cos \varphi''\sin\varphi'\cos\psi')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi'\sin\varphi''\sin(\psi''-\psi'), \end{aligned} \right.\tag{7}\] et \(\displaystyle M=m'+m''+m''',\)(8)

on aura \(\displaystyle R'=\frac{MN'}{m'D},\qquad R''=\frac{MN''}{m''D},\qquad R'''=\frac{MN'''}{m'''D}.\)(9)

Si on remplace ces valeurs dans (6), puis les nouvelles valeurs de \(x^{(i)}\), \(y^{(i)}\), \(z^{(i)}\) dans (1), on aura neuf équations ne contenant plus que les six variables \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), ainsi que leurs dérivées premières et secondes. En outre ces équations seront linéaires par rapport aux six dérivées secondes \(d^2\varphi'/dt^2\), \(d^2\psi/dt^2\), \(d^2\varphi''/dt^2\), etc. On peut donc éliminer ces dernières et l’on trouvera trois équations entre les \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), \(d\varphi^{(i)}/dt\), \(d\psi^{(i)}/dt\), lesquelles contiendront les constantes \(a'\), \(b'\), \(c'\) étrangères aux sept intégrales premières déjà trouvées; ce seront donc trois intégrales premières distinctes.

Voilà l’idée; elle n’aboutirait pas, si la substitution rendait les trois équations résultantes identiquement nulles, alors même qu’aux neuf équations (1), on en substituerait six (1) en trois différentielles de (3).³ Je ne crois cependant pas qu’il en soit ainsi, quoique je n’ai pas encore achevé tous les calculs relatifs à l’élimination, parce que les facteurs arbitraires dont je me sers pour opérer cette élimination et que j’ai déjà obtenus sont variables, et différents de \(m'\), \(m''\), \(m'''\). Toutefois, je ne pourrai me prononcer en connaissance exacte de cause qu’après avoir entièrement achevé et vérifié des calculs fort longs par eux-mêmes.

Il y aurait encore une autre remarque à faire. Si les trois équations résultantes sont distinctes les unes des autres, on aurait en tout dix intégrales premières et neuf dérivées \(d\varphi^{(i)}/dt\), \(d\psi^{(i)}/dt\). On pourrait donc éliminer celles-ci et obtenir une équation résultante entre les \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), laquelle serait une quatrième intégrale seconde. Mais on aurait à opérer d’énormes calculs, et il me semble que cela n’est point possible, parce que le nombre des constantes serait insuffisant.

Pour le moment, je calcule les facteurs propres à l’élimination des dérivées secondes, et j’en ai déjà trois. Si j’échoue, j’aurais fait au moins un exercice bien⁴ sérieux sur le calcul des déterminants que j’ai appris tard, et, par suite, ne manie pas facilement.

Agréez, Monsieur et cher Collègue, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

de Marsilly