LettreLouis-Joseph-Auguste Commines de Marsilly à Henri Poincaré - 4 juin 1885

Auxerre le 4 juin 1885.

Monsieur et cher Collègue,

Je vous remercie de votre complaisance à me répondre1 et, au risque d’en abuser, je viens vous donner quelques indications sur les nouvelles intégrales que j’espère obtenir dans le problème des trois corps. Je ne connais pas la solution de Bour; mais je vous en dirai assez pour que vous puissiez juger ma méthode et me dire si elle rentre dans celle de Bour.2

Les neuf équations du mouvement des trois corps rapportées à un système fixe d’axes rectangulaires peuvent être représentées par le symbole \[\tag{1} \frac{d^2u^{(i)}}{dt^2}=m^{(j)}f\frac{u^{(j)}-u^{(i)}}{r^{(k)3}}+m^{(k)}f \frac{u^{(k)}-u^{(i)}}{r^{(j)3}} \qquad(9)\] où l’on désigne par \(\underline{u}\) l’une quelconque des trois coordonnées \(x\), \(y\), \(z\), par \(r\) la distance de deux points et par \((i)\), \((j)\), \((k)\) trois accents consécutifs pris à volonté dans la série \('\), \(''\), \('''\), \('\), \(''\), …Les sept intégrales premières connues des équations (1) peuvent être comprises sous les types symboliques suivants: \[ m'\frac{du'}{dt}+m''\frac{du''}{dt}+m'''\frac{du'''}{dt}=a,b\; \text{ou}\; c \qquad(3) \tag{2}\\ \begin{aligned} m'\left(v'\frac{du'}{dt}-u'\frac{dv'}{dt}\right)&+m''\left(v''\frac{du''}{dt}-u''\frac{dv''}{dt}\right)\\ &+m'''\left(v'''\frac{du'''}{dt}-u'''\frac{dv'''}{dt}\right)=\gamma,\alpha\; \text{ou}\; \beta \qquad (3), \end{aligned}\tag{3}\] (\(u\), \(v\) représentant deux coordonnées consécutives dans la série \(x\), \(y\), \(z\), \(x\), …) \[\frac{1}{2}\sum m^{(i)}\left(\frac{dx^{(i)2}}{dt^2}+\frac{dy^{(i)2}}{dt^2} + \frac{dz^{(i)2}}{dt^2}\right) = \frac{m'm''f}{r'''}+\frac{m''m'''f}{r'}+\frac{m'''m'f}{r''}+k. \qquad (1) \tag{4}\] Il faut y ajouter trois intégrales secondes représentées par le symbole \[m'u'+m''u''+m'''u'''=at+a'\; \text{ou}\;bt+b'\; \text{ou}\;ct+c'.\qquad (3) \tag{5}\] Voici l’idée qui s’est présentée à mon esprit.

Changeons de coordonnées, et, recourant à un système polaire connu, posons \[\left\{ \begin{aligned} x^{(i)}&=R^{(i)}\sin \varphi^{(i)}\cos\psi^{(i)},\\ y^{(i)}&=R^{(i)}\sin \varphi^{(i)}\sin\psi^{(i)},\\ z^{(i)}&=R^{(i)}\cos\varphi^{(i)}.\\ \end{aligned} \right.\tag{6}\] La substitution de ces valeurs dans les trois équations (5) nous donnera \(R'\), \(R''\), \(R'''\) en fonction de \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\). En posant \[\left\{ \begin{aligned} D&=-\cos\varphi'\sin \varphi''\sin\varphi'''\sin(\psi''-\psi''')\\ &\quad-\cos\varphi''\sin \varphi'''\sin\varphi'\sin(\psi'''-\psi')\\ &\quad-\cos\varphi'''\sin \varphi'\sin\varphi''\sin(\psi'-\psi''),\\ N'&=(at+a')(\sin \varphi''\sin\psi''\cos\varphi'''-\sin \varphi'''\sin\psi'''\cos\varphi'')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi''\sin\varphi'''\cos\psi'''-\cos \varphi'''\sin\varphi''\cos\psi'')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi''\sin\varphi'''\sin(\psi'''-\psi''),\\ N''&=(at+a')(\sin \varphi'''\sin\psi'''\cos\varphi'-\sin \varphi'\sin\psi'\cos\varphi''')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi'''\sin\varphi'\cos\psi'-\cos \varphi'\sin\varphi'''\cos\psi''')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi'''\sin\varphi'\sin(\psi'-\psi'''),\\ N'''&=(at+a')(\sin \varphi'\sin\psi'\cos\varphi''-\sin \varphi''\sin\psi''\cos\varphi')\\ &\quad+(bt+b')(\cos \varphi'\sin\varphi''\cos\psi''-\cos \varphi''\sin\varphi'\cos\psi')\\ &\quad+(ct+c')\sin \varphi'\sin\varphi''\sin(\psi''-\psi'), \end{aligned} \right.\tag{7}\] et \(\displaystyle M=m'+m''+m''',\)(8)

on aura \(\displaystyle R'=\frac{MN'}{m'D},\qquad R''=\frac{MN''}{m''D},\qquad R'''=\frac{MN'''}{m'''D}.\)(9)

Si on remplace ces valeurs dans (6), puis les nouvelles valeurs de \(x^{(i)}\), \(y^{(i)}\), \(z^{(i)}\) dans (1), on aura neuf équations ne contenant plus que les six variables \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), ainsi que leurs dérivées premières et secondes. En outre ces équations seront linéaires par rapport aux six dérivées secondes \(d^2\varphi'/dt^2\), \(d^2\psi/dt^2\), \(d^2\varphi''/dt^2\), etc. On peut donc éliminer ces dernières et l’on trouvera trois équations entre les \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), \(d\varphi^{(i)}/dt\), \(d\psi^{(i)}/dt\), lesquelles contiendront les constantes \(a'\), \(b'\), \(c'\) étrangères aux sept intégrales premières déjà trouvées; ce seront donc trois intégrales premières distinctes.

Voilà l’idée; elle n’aboutirait pas, si la substitution rendait les trois équations résultantes identiquement nulles, alors même qu’aux neuf équations (1), on en substituerait six (1) en trois différentielles de (3).3 Je ne crois cependant pas qu’il en soit ainsi, quoique je n’ai pas encore achevé tous les calculs relatifs à l’élimination, parce que les facteurs arbitraires dont je me sers pour opérer cette élimination et que j’ai déjà obtenus sont variables, et différents de \(m'\), \(m''\), \(m'''\). Toutefois, je ne pourrai me prononcer en connaissance exacte de cause qu’après avoir entièrement achevé et vérifié des calculs fort longs par eux-mêmes.

Il y aurait encore une autre remarque à faire. Si les trois équations résultantes sont distinctes les unes des autres, on aurait en tout dix intégrales premières et neuf dérivées \(d\varphi^{(i)}/dt\), \(d\psi^{(i)}/dt\). On pourrait donc éliminer celles-ci et obtenir une équation résultante entre les \(\varphi^{(i)}\), \(\psi^{(i)}\), laquelle serait une quatrième intégrale seconde. Mais on aurait à opérer d’énormes calculs, et il me semble que cela n’est point possible, parce que le nombre des constantes serait insuffisant.

Pour le moment, je calcule les facteurs propres à l’élimination des dérivées secondes, et j’en ai déjà trois. Si j’échoue, j’aurais fait au moins un exercice bien4 sérieux sur le calcul des déterminants que j’ai appris tard, et, par suite, ne manie pas facilement.

Agréez, Monsieur et cher Collègue, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

de Marsilly


Apparat critique 

  1. Les lettres de Poincaré adressées à Marsilly et les autres lettres de Marsilly adressées à Poincaré n’ont pas été retrouvées.↩︎

  2. Edmond Bour publie en 1855, alors qu’il est élève-ingénieur à l’école des mines de Paris, un mémoire Sur l’intégration des équations différentielles de la Mécanique analytique Bour (1855b) dans lequel il s’intéresse à certains cas particuliers de la théorie de Jacobi. La même année, il soutient sa thèse en proposant (comme première thèse) un mémoire sur le problème des trois corps Bour (1855a) dans lequel il s’inspire comme dans son travail précédent des résultats de Joseph Bertrand sur les intégrales des équations différentielles de la mécanique. Dans sa thèse, Bour montre qu’à l’aide d’un changement de variables, on peut conserver aux équations de la théorie de Bertrand la forme habituelle des équations d’Hamilton. L’intérêt du travail de Bour est de montrer que le problème général des trois corps peut se résoudre en perturbant le cas où le mouvement est plan puisque l’hamiltonien obtenu par Bour se décompose en deux parties : l’hamiltonien du problème restreint au plan et une fonction perturbatrice égale au produit d’une constante qui dépend des aires par la somme des moments d’inertie des corps autour d’un certain axe, divisé par le carré du triangle formé par les trois corps Bour (1855a), p. 25.

    Les calculs de Marsilly n’ont rien à voir avec la forme hamiltonnienne des équations obtenues par Bour. L’intérêt des calculs de Marsilly réside plutôt dans la forme synthétique avec laquelle il expose son analyse des équations du problème des trois corps.↩︎

  3. A vérifier – comprendre ce qu’il veut dire↩︎

  4. très?↩︎


Références

Bour E. (1855a) Mémoire sur le problème des trois corps. Mallet-Bachelier, Paris. Lien externe: Link↩︎

Bour E. (1855b) Sur l’intégration des équations différentielles de la mécanique analytique. Journal de mathématiques pures et appliquées 20, pp. 185–200. Lien externe: Link↩︎

 

 

Titre (dcterms:title)

Louis-Joseph-Auguste Commines de Marsilly à Henri Poincaré - 4 juin 1885

Incipit (ahpo:incipit)

Je vous remercie de votre complaisance à me répondre ...

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1885-06-04

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fr Lettre autographe signée

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Archives Henri Poincaré

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3

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« Louis-Joseph-Auguste Commines De Marsilly à Henri Poincaré - 4 Juin 1885 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré, Les Astronomes Et Les géodésiens. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 7 février 2023, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/5633