Caen, le 29 juin 1881¹

Cher Monsieur,

Je vous remercie infiniment de votre excellente lettre et de votre photographie qui m’a fait le plus grand plaisir. Je vous envoie la mienne,² avec empressement, car la demande que vous m’en faites me flatte et m’honore extrêmement, en même temps qu’elle me cause une grande joie en me montrant que vous avez quelque sympathie pour moi.

Je n’irai probablement pas en Suède d’ici à quelque temps, mes occupations ne me le permettront pas ; et je le regrette beaucoup, car outre le plaisir que j’aurais à vous y voir, j’ai conservé les meilleurs souvenirs d’un voyage que j’ai fait dans votre patrie en 1878.³

Je vous félicite en tout cas de votre nouvelle situation à Stockholm ; j’ai trouvé cette ville extrêmement agréable, et si elle l’est pour un étranger, elle doit l’être bien davantage encore pour un Suédois. Si vous avez l’occasion d’y rencontrer des amis que j’y ai laissés, M. Mathis et M. Thiébaut, chancelier de la Légation de France, soyez assez bon pour leur faire mes amitiés et même vous recommander de moi auprès d’eux si vous le jugez convenable.

Je suis vraiment confus de toutes les choses flatteuses que vous me dites dans votre lettre et que je sens imméritées.

Il y a en effet une erreur dans l’exemple que je vous ai envoyé.⁴ La seule intégrale holomorphe de l’équation serait évidemment : \(z = u_1 \times \text{constante}\).

Je vais prendre un exemple différent et faire tout le calcul pour éviter toute erreur nouvelle.

Soit \[u_1 \left( {1 - u_1 - u_2 - u_2 u_3 } \right)\frac{{dz}} {{du_1 }} + \lambda _2 u_2 \frac{{dz}} {{du_2 }} + \lambda _3 u_3 \frac{{dz}} {{du_3 }} = z\]

S’il y a une intégrale holomorphe, on obtiendra le coefficient de \(u_1^{m_1 } u_2^{m_2 } u_3^{m_3 }\) en différentiant \(m_1\) fois par rapport à \(u_1\), \(m_2\) fois par rapport à \(u_2\), puis \(m_3\) fois par rapport à \(u_3\) et faisant : \[u_1 = u_2 = u_3 = 0.\]⁵

Je pose pour abréger : \[\begin{array}{ccccc} \frac{dz}{du_1} = p_1,& \frac{dz}{du_2} = p_2,& \frac{dz}{du_3} = p_3;& D_1 U = \frac{d^{m_1}U}{du^{m_1 }};& D_2 U = \frac{d^{m_2}U}{du^{m_2 }}; \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} D_3 U = \frac{d^{m_3}U}{du^{m_3 }};& D = D_1 D_2 D_3 z. \end{array}\]

Je différencie d’abord \(m_2\) fois par rapport à \(u_2\) il vient : \[\begin{gathered} u_1 \left( {1 - u_1 - u_2 - u_2 u_3 } \right)D_2 p_1 + \lambda_2 u_2 D_2 p_2 + \lambda _3 u_3 D_2 p_3\\ - m_2 u_1 \left( {1 + u_3 } \right)\frac{{d^{m_2 - 1} p_1 }}{{du_2^{m_2 - 1} }} + m_2 \lambda _2 D_2 z = D_2 z\end{gathered}\]

Je fais \(u_2 = 0\) et je différentie \(m_1\) fois par rapport à \(u_1\), il vient : \[\begin{gathered} u_1 \left( {1 - u_1 } \right)D_1 D_2 p_1 + \left[ {m_1 \left( {1 - u_1 } \right) - m_1 u_1 } \right]D_1 D_2 z\\ + \lambda _3 u_3 D_1 D_2 p_3 - m_2 u_1 \left( {1 + u_3 } \right)D_1 \frac{{d^{m_2 - 1} p_1 }} {{du_2^{m_2 - 1} }}\\ - m_1 m_2 \left( {1 + u_3 } \right)D_1 \frac{{d^{m_2 - 1} z}}{{du_2^{m_2 - 1} }} + m_2 \lambda _2 D_1 D_2 z - m_1 \left( {m_1 - 1} \right)D_2 \frac{{d^{m_1 - 1} z}}{{du_1^{m_1 - 1} }} = D_1 D_2 z\end{gathered}\]

Je fais \(u_1 = 0\) \[m_1 D_1 D_2 z + \lambda _3 u_3 D_1 D_2 p_3 - m_1 m_2 \left( {1 + u_3 } \right)D_1 \frac{{d^{m_2 - 1} z}} {{du_2^{m_2 - 1} }} + m_2 \lambda _2 D_1 D_2 z\]

\[= D_1 D_2 z + m_1 \left( {m_1 - 1} \right)D_2 \frac{{d^{m_1 - 1} z}} {{du_1^{m_1 - 1} }}\]

Je différentie \(m_3\) fois par rapport à \(u_3\) ; il vient : \[\left( {m_1 + \lambda _2 m_2 - 1} \right)Dz + \lambda _3 u_3 Dp_3 - m_1 m_2 \left( {1 + u_3 } \right)D_1 D_3 \frac{{d^{m_2 - 1} z}} {{du_2^{m_2 - 1} }}\]

\[+ m_3 \lambda _3 Dz - m_1 m_2 m_3 D_1 \frac{{d^{m_3 - 1} d^{m_2 - 1} z}} {{du_3^{m_3 - 1} du_2^{m_2 - 1} }} = m_1 \left( {m_1 - 1} \right)D_2 D_3 \frac{{d^{m_1 - 1} z}} {{du_1^{m_1 - 1} }}\]

J’appelle : \[\frac{{\left( {m_1 ,\;m_2 ,\;m_3 } \right)}} {{m_1 !m_2 !m_3 !}}\] le coefficient de \[u_1^{m_1 } u_2^{m_2 } u_3^{m_3 }.\]

L’équation précédente me donne : \[\begin{gathered} \left( {m_1 ,\;m_2 ,\;m_3 } \right)\left( {m_1 + m_2 \lambda _2 + m_3 \lambda _3 - 1} \right) = m_1 m_2 \left( {m_1 ,\;m_2 - 1,\;m_3 } \right)\\ + m_1 m_2 m_3 \left( {m_1 ,\;m_2 - 1,\;m_3 - 1} \right) + m_1 \left( {m_1 - 1} \right)\left( {m_1 - 1,\;m_2 ,\;m_3 } \right)\end{gathered}\]

Cette équation montre comment on pourra calculer les coefficients de proche en proche.⁶ Soit d’abord \(m_1 = 1, m_2 = m_3 = 0\); l’équation est indéterminée ; on peut prendre un coefficient quelconque, prenons 1 ; soit maintenant \(m_1 = 1,\;m_2 = 1,\;m_3 = 0\), l’équation devient : \[\left( {1,\;1,\;0} \right)\left( {1 + \lambda _2 - 1} \right) = 1\]

Soit \(m_1 = 1,\;m_2 = 1,\;m_3 = 1\); on a : \[\left( {1,\;1,\;1} \right)\left( {\lambda _2 + \lambda _3 } \right) = \left( {1,\;0,\;1} \right) + \left( {1,\;0,\;0} \right)\]

\[\begin{matrix} (1,0,1)\lambda_3 = 0&\qquad \displaystyle (1,1,1) = \frac{1}{\lambda_2 + \lambda_3} \end{matrix}\]

\[\left( {1,\;2,\;1} \right)\left( {2\lambda _2 + \lambda _3 } \right) = 2\left( {1,\;1,\;1} \right) + 2\left( {1,\;1,\;0} \right)\]

\[\left( {1,\;2,\;1} \right) = \frac{1} {{\left( {\lambda _2 + \lambda _3 } \right)\left( {2\lambda _2 + \lambda _3 } \right)}} + \frac{2} {{\lambda _2 \left( {2\lambda _2 + \lambda _3 } \right)}}\]

\[\left( {2,\;0,\;0} \right) = 2\left( {1,\;0,\;0} \right) = 2\]

\[\left( {2,\;1,\;0} \right)\left( {1 + \lambda _2 } \right) = 2\left( {1,\;0,\;0} \right) + 2\left( {1,\;1,\;0} \right) = 4 + \frac{1}{1 + \lambda_2 - 1}\]

etc.

Veuillez agréer, cher Monsieur, l’expression de ma respectueuse considération.

Poincaré