LettreGösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 18 mars 1890

[18/3/90]

Mon cher ami,

M. Phragmén a dû vous répondre quant à l’époque où votre mémoire paraîtra.1 Quant aux frais de la nouvelle publication je ne sais rien là-dessus avant que la publication sera tout fait mais alors je me permettrai de vous les communiquer.

J’ai deux élèves qui suivent votre cours maintenant M. Kobb et Mademoiselle Lagerborg.2 Ils sont tous les deux très enthousiasmés quoiqu’ils éprouvent une certaine difficulté de saisir au fond toutes vos profondes idées. M. Bohlin avait espéré aussi de pouvoir aller à Paris mais il s’est trouvé au dernier moment qu’il ne pouvait pas.

Permettez moi de vous exposer un résultat assez remarquable qui a été trouvé par un autre de mes élèves M. Fredholm et que je vous prie de communiquer aux “comptes rendus” si vous trouvez cela opportun.3

Autant que je sache toutes les fonctions qui n’existent que dans un certain domaine du plan et qui ont été étudié[es] jusqu’ici cessent d’exister parce que les fonctions elles-mêmes ou leurs dérivées deviennent discontinues sur la frontière. M. Fredholm a trouvé dans un des champs les plus connus de l’Analyse une fonction qui est continue ainsi que toutes ses dérivées sur toute la frontière qui limite le domaine d’existence de la fonction.

Ecrivez la fonction \(\theta\) sous la forme \[\sum\limits_{\nu = - \infty }^\infty {e^{\nu ^2 t + \nu {\kern 1pt} u} } = \sum\limits_{\nu = - \infty }^{ - 1} {e^{\nu ^2 t + \nu {\kern 1pt} u} } + \sum\limits_{\nu = 0}^\infty {e^{\nu ^2 t + \nu {\kern 1pt} u} }\] et mettez \[\varphi (t,\;u) = \sum\limits_{\nu = 0}^\infty {e^{\nu ^2 t + \nu {\kern 1pt} u} }.\] Si la partie réelle de \(\nu\) est négative, la fonction est une fonction uniforme de t pour toutes les valeurs de t, dont la partie réelle soit négative. La fonction / ainsi que toutes ses dérivées sont des fonctions continues de t sur l’axe imaginaire. Mais cet axe imaginaire forme la limite du domaine d’existence de la fonction. Pour voir cela vous n’avez que faire l’observation que la fonction \(\varphi (t,\;u)\) satisfait à l’égalité

\[\frac{{\partial \varphi }} {{\partial t}} = \frac{{\partial ^2 \varphi }} {{\partial u^2 }}\] et de mettre \(\varphi (t,\;u) = \Phi(t - t_0)\) \[\varphi \left( {t,u} \right) = \varphi \left( {t_0 ,u} \right) + \left( {\frac{{\partial \varphi }} {{\partial t}}} \right)_{t = t_0 } \frac{{t - t_0 }} {{1!}} + \cdots = \varphi \left( {t_0 ,u} \right) + \left( {\frac{{\partial ^2 \varphi }} {{\partial t^2 }}} \right)_{t = t_0 } \frac{{t - t_0 }} {{1!}} + \cdots\]\(t_0\) est un point sur l’axe imaginaire.

D’après le théorème connu de Madame Kowalevski4 la série \(\Phi(t - t_0)\) ne peut être convergente à moins que \(\varphi (t_0 ,\;u)\) soit une fonction entière rationnelle ou transcendante de \(u\). Cela n’a pas lieu et la fonction \(\varphi (t,\;u)\) regardée comme fonction de \(t\) n’existe donc quand \(u\) est une constante dont la partie réelle reste négative que pour le domaine : partie réelle de \(t < 0\).

En mettant \[e^t = x,\quad e^u = a,\quad |a| < 1\] vous obtenez une fonction de \(x\) \[\sum\limits_{\nu = 0}^\infty {a^{\nu {\kern 1pt} } x^{\nu^2} }\] qui n’existe que pour \(\left| x \right| < 1\) et qui soit continue ainsi que toutes ses dérivées pour \(\left| x \right| = 1\). Il est facile à voir qu’on peut de beaucoup généraliser ce résultat obtenu par M. Fredholm. Madame M L me prie de la rappeler au bon souvenir de M. Poincaré et je vous serre bien cordialement la main.

Tout à vous.

M. L.

Mon mémoire sur les invariants des équations différentielles linéaires paraîtra bientôt.5 J’espère que vous y trouverez quelques résultats dignes de votre intérêt.


 Apparat critique

  1. Le 20 mars 1890, Phragmén écrit à Poincaré pour lui suggérer quelques corrections (voir annexe n3).

  2. Kobb et Lagerborg sont admis à la Société mathématique de France du 5 février 1890. Kobb y prononcera une courte conférence Kobb (1891) sur les surfaces développées.

  3. Mittag-Leffler fait référence au travail de Fredholm, sur une classe de lignes singulières (Fredholm (1890), (1955, 1–5)).

    Les travaux de Fredholm donneront lieu à une note de Mittag-Leffler aux Comptes rendus Mittag-Leffler (1890) qui paraîtra aussi dans le tome 15 des Acta mathematica Mittag-Leffler (1891b).

    Dans cette note, Mittag-Leffler expose la démonstration du résultat de Fredholm en insistant sur le fait que la série \[\sum\limits_{\nu = 0}^\infty {a^\nu x^{\nu ^2 } } \left| a \right| < 1\] n’admet pas de prolongement analytique au delà du domaine de convergence alors que la fonction ainsi définie et ses dérivées sont continues sur sa frontière. En posant \(a = e^u\), \(x = e^t\), cette fonction se ramène à une solution de l’équation de la chaleur. Selon Zeilon, le rédacteur de la biographie de Fredholm (Fredholm (1955 I–XVI)), celui-ci considérait que “c’était justement la relation avec l’équation de la chaleur qui donnait de l’intérêt à sa série” et qu’“il n’avait jamais approuvé que Mittag-Leffler, dans sa présentation de la “transcendante remarquable de M. Fredholm”, ait surtout insisté sur ce que la fonction possède des dérivées de tous les ordres, continues sur le cercle de convergence, propriété qu’il a regardée comme étant au fond assez banale”.

    Alors que le résultat de Fredholm est juste, sa démonstration contient une interprétation erronée d’une remarque de Kovalevskaia sur les équations aux dérivées partielles Kovalevskaia (1875, 22), comme l’ont observé Khavinson & Shapiro (1994). Ces derniers ont corrigé la démonstration de Fredholm avec l’aide du théorème de Zerner (1971). A ce sujet, voir aussi le récit de Bottazzini & Gray (2013, 624).

  4. Kovalewskaia désigne par \(\varphi _0 \left( {y,\,b} \right)\) une série de puissances de \(y - b\). La série \[\sum\limits_{\nu = 0}^\infty {\frac{{d^{2\nu } \varphi _0 \left( {y,b} \right)}} {{dy^{2\nu } }}\frac{{\left( {x - a} \right)^\nu }} {{\nu !}}}\] vérifie formellement l’équation de la chaleur. Kovalewskaia montre alors qu’une telle série est nécessairement divergentes si la série \(\varphi _0 \left( {y,\,b} \right)\) admet un rayon de convergence fini:

    […] daraus folgt, dass die Reihe \[\sum\limits_{\nu = 0}^\infty {\frac{{d^{2\nu } \varphi _0 \left( {y,b} \right)}} {{dy^{2\nu } }}\frac{{\left( {x - a} \right)^\nu }} {{\nu !}}}\] niemals convergent ist, wie klein man auch \(x - a\), \(y - b\) annehmen möge, wenn die Reihe \(\varphi _0 \left( {y,\,b} \right)\) nur einen beschränkten Convergenzbezirk besitzt. Aber auch wenn \(\varphi _0 \left( {y,\,b} \right)\) eine beständig convergirende Reihe ist, kann die vorstehende Reihe beständig divergent sein. Dies ist z. B. der Fall, wenn man \[\varphi_0(y,b) = \sum\limits_{\nu = 0}^\infty \frac{(y - b)^\nu} {(\nu !)^{1/4}}\] annimmt, weil dann die eben angegebenen Bedindungen für die Coefficienten der Reihe \(\varphi _0 \left( {y,\,b} \right)\) nicht erfüllt sind. Kovalewskaia (1875, 24)

  5. Mittag-Leffler (1891a).


Références

Bottazzini, Umberto, and Jeremy Gray. 2013. Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. New York: Springer.

Fredholm, Ivar. 1890. “Om en speciell klass av singulära linjer.” Öfversigt Af Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 47: 131–34.

———. 1955. Œuvres complètes d’Ivar Fredholm. Malmö: Litos Reprotryck.

Khavinson, D., and H. S. Shapiro. 1994. “The heat equation and analytic continuation: Ivar Fredholm’s first paper.” Expositiones Mathematicæ 12: 79–95.

Kobb, Gustav. 1891. “Sur les surfaces développées.” Bulletin de La Société Mathématique de France 19: 1–3.

Kovalevskaia, Sofia Vasilievna. 1875. “Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichungen.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 80: 1–32.

Mittag-Leffler, Gösta. 1890. “Sur une transcendante remarquable découverte par M. Fredholm.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences de Paris 110: 627–29.

———. 1891a. “Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d’une équation différentielle linéaire et homogène.” Acta Mathematica 15: 1–32.

———. 1891b. “Sur une transcendante remarquable découverte par M. Fredholm (Extrait d’une lettre à M. Poincaré)).” Acta Mathematica 15: 279–80.

Zerner, Martin. 1971. “Domaine d’holomorphie des fonction vérifiant une équation aux dérivées partielles.” Comptes Rendus Des Séances de L’Académie Des Sciences de Paris A 272: 1646–8.

Titre (dcterms:title)

Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 18 mars 1890

Incipit (ahpo:incipit)

M. Phragmén a dû vous répondre quant à l'époque où votre mémoire paraîtra.

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1890-03-18

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(fr) Brouillon autographe signé

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98

Nombre de pages (ahpo:numberOfPages)

4

Langue (ahpo:language)

fr

Publié sous la référence (ahpo:publishedInReference)

CHP 1:98

Éditeur (dcterms:publisher)

Licence (dcterms:license)

« Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 18 Mars 1890 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d., Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, accessed 15 July 2020, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/6249

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