LettreGösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 mai 1900

[17.05.1900]1

Mon cher ami,

Les théorèmes de M. Desaint sont tous erronés malheureusement, parce que les intégrales qu’il emploie pour représenter ses fonctions ne représentent pas la même fonction analytique à l’intérieur et à l’extérieur du cercle de convergence de la série de Taylor, qui lui sert pour point de départ.

M. Phragmén vient de me faire là-dessus les remarques suivantes.

Considérons par exemple la fonction \(\theta(\tilde u,\,z)\) qui figure dans sa formule fondamentale\(^{*}\) \[\sum A_n z^n = \frac{1}{2\pi i}\int_C {\psi\left( \tilde u\right)\theta\left(\tilde u,z\right)d\tilde u}\] (p. 10 du manuscrit).

Cette fonction est définie pour \(R\left( \frac{\tilde u}{i} \right) > 0\) par l’intégrale définie \[\theta \left(\tilde u, z\right) = - i\int_0^1 \frac{y^{-i\tilde u-1}}{1 - y^i z}dy\]

Cette intégrale, pour \(|z| < 1\), se développe en une série procédant suivant les puissances de z \[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - i} \right)\int_0^1 {y^{ - i\left( {\tilde u - n} \right) - 1} dy} z^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{z^n }} {{\tilde u - n}}} }\]

De même, pour \(|z| > 1\), on a \[\begin{aligned} - i\int_0^1 \frac{y^{-i\tilde u - 1}}{1 - y^iz}dy &= - \frac{1}{z}\left[ - i\int_0^1 \frac{y^{ - i(\tilde u + 1) - 1}}{1 - y^i \frac{1}{z}} dy \right]\\ &= -\frac{1}{z}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( -i\right)\int_0^1 {y^{-i(\tilde u + 1 + n)}dy} \frac{1}{z^n}}\\ &= - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{z^{-n}}{\tilde u + n}} \end{aligned}\]

Désignons cette dernière fonction par \(\theta _1(\tilde u, z)\). On vérifie immédiatement que les fonctions \(\theta(\tilde u,z), \theta_1(\tilde u,z)\) satisfont toutes les deux à l’équation différentielle \[z\frac{d\theta}{d\tilde u} - \theta = \frac{1}{z - 1},\] dont la solution la plus générale peut s’écrire, \[\theta = z^{\tilde u} \left( {F\left( {\tilde u} \right) + \int {\frac{{z^{ - \tilde u - 1} }} {{z - 1}}dz} } \right)\] \(F(\tilde u)\) désignant une fonction de \(\tilde u\) seulement.

On en conclut immédiatement que la fonction \(\theta \left( {\tilde u,z} \right)\) peut être continuée au delà du cercle \(\left| z \right| \leq 1\) et reste régulière dans le domaine de la variable \(z\) qu’on obtient en excluant du plan entier la partie de l’axe réel situé entre \(z = 1\) et \(z = + \infty\).

De même la fonction \(\theta_1 (\tilde u, z)\) peut être continuée au delà du cercle \(\left| z \right| \geq 1\) et reste régulière dans le domaine obtenu en excluant du plan la partie de l’axe réel situé entre \(z = 0\) et \(z = 1\).

Cela suffit pour démontrer que les fonctions \(\theta \left( {\tilde u,z} \right)\) et \(\theta_1(\tilde u,z)\) ne sont pas identiques. En effet, si c’était le cas, cette fonction serait uniforme et régulière dans tout le plan à l’exception du point \(z = 1\). Dans ce point la fonction deviendrait infinie d’un ordre logarithmique seulement, et il s’ensuivrait qu’elle devrait être une constante, ce qui n’est pas le cas.2

D’ailleurs on peut facilement déterminer la différence \(\theta - \theta_1\). Cette différence est en effet de la forme \[\phi(u)\;z^u\] de manière que ce n’est que la fonction \(\phi (u)\) qu’il s’agit de déterminer.

Or on a évidemment \[\theta (\tilde u, -1) = \frac{1}{u} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{(-1)^n}{\tilde u - n}}\] et de même \[\theta _1 \left( {\tilde u, - 1} \right) = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ - n} }} {{\tilde u + n}}}\]

Donc \[\phi \left( u \right)\left( { - 1} \right)^u = \frac{1} {u} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^n \left( {\frac{1} {{\tilde u - n}} + \frac{1} {{\tilde u + n}}} \right)} = \frac{\pi } {{\sin \pi u}}\] et \[\theta \left( {u,z} \right) - \theta _1 \left( {u,z} \right) = \frac{\pi }{\sin\pi u}e^{u\log\left( -z\right)}\]\(\log \left( -x\right)\) doit être pris réel pour \(z\) réel et négatif.

Vu[e] la gravité de ces remarques je n’ai pas besoin d’insister sur d’autres dans son mémoire qui me paraissent entièrement inadmissibles.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’expression de mon amitié bien sincère.

* J’ai simplifié un peu la notation en écrivant \(z,\;0,\;1\) au lieu de \[\frac{z-z_0}{r},\ a_0,\ \omega.x\]


Apparat critique

  1. Cette lettre est en partie dactylographiée sur un papier à en-tête : “Professor Mittag-Leffler/Djursholm, Stockholm”. On dispose du double dactylographié de cette lettre ainsi que d’un brouillon, rédigé par Phragmén et annoté légèrement par Mittag-Leffler. Les formules qui figurent dans le brouillon sont absentes de la copie dactylographiée dont nous disposons. La division en page correspond au brouillon de Phragmén [Brefkoncept 2594]. Le texte de Phragmén commence par : Remarques sur le mémoire manuscrit de M. Desaint “Sur la représentation analytique des fonctions quelconques”.

  2. Phragmén montre que les fonctions \(\theta\) et \(\theta_1\) définies comme solutions du problème à l’intérieur et à l’extérieur du disque unité peuvent être prolongées au delà de leur domaine de définition.

    Desaint avait implicitement admis que ces fonctions étaient identiques. Or, si elles l’étaient, ces deux fonctions représenteraient une même fonction qui admettrait 1 comme seul point singulier. En considérant les formules intégrales qui définissent \(\theta\) et \(\theta_1\), il vient que ce point singulier est logarithmique ce qui entraîne, en appliquant le théorème de Liouville Titchmarsh (1932, 85), que cette fonction est une constante.


Références

Titchmarsh, Edward Charles. 1932. The Theory of Functions. London: Oxford University Press.

Titre (dcterms:title)

Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 mai 1900

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1900-05-17

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Mémoire erroné de Desaint

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fr Lettre autographe

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157

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fr

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CHP 1:157

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« Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 Mai 1900 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 8 février 2023, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/6488