LettreHenri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 décembre 1901

[19/12/1901]1

Mon cher ami,

Je m’occuperai de l’affaire Lorentz.2 J’espère dès ce soir pouvoir en parler à Cornu.3

Ma femme est tout à fait de votre avis pour la photographie, j’irai poser de nouveau dès que le temps sera favorable. Où en est d’ailleurs la publication de vos Monumenta Mathematica ?4

J’ai déjà commencé à m’occuper du mémoire sur les fonctions abéliennes.

Mais quel est le dernier délai pour cet envoi.

Une autre question, vous paraissez connaître déjà le mémoire de Wirtinger ; de quoi traite-t-il au juste ? Je voudrai éviter de me rencontrer avec lui.5

D’autre part, Klein m’a dit que Wirtinger avait fait la remarque suivante.

Soit une courbe \(C\) du 5 genre, on peut y construire une courbe \(C'\) du 9 genre de telle façon qu’à un point de \(C\) correspondent 2 points de \(C'\). Cette courbe du 9 genre engendrera des fonctions abéliennes à 9 variables ; et par une transformation du 2 ordre, ces fonctions abéliennes se transformeront en fonction abéliennes toujours à 9 variables mais de telles façon que la fonction \(\Theta\) à 9 variables ainsi obtenue se décompose en deux facteurs dont l’un est une fonction \(\Theta\) à 5 variables et l’autre la fonction \(\Theta\) la plus générale à 4 variables.

Cela n’est pas très difficile à démontrer et je voudrais en tirer quelques conséquences.6

Mais Wirtinger a-t-il publié cela et d’un autre côté n’en a-t-il pas tiré lui-même des conséquences qui précisément pourraient être les mêmes que celles que j’ai trouvées moi-même.7 Pourriez vous me renseigner sur ce point ?

Votre ami bien dévoué,

Poincaré


 Apparat critique

  1. Date du cachet de la poste de Paris. Paris-19 décembre — Djursholm-22 décembre.

  2. Il s’agit de la proposition de candidature de Lorentz au prix Nobel de physique; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 14 décembre 1901 (lettre n°181).

  3. Alfred Cornu signera la proposition de Poincaré d’attribuer le prix Nobel à Lorentz; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 19 janvier 1902 (lettre n°186), et Poincaré au Comité Nobel, 31 janvier 1902 (§ 2-62-7).

  4. Voir Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 15 octobre 1900 (lettre n°164).

  5. Voir les lettres n°176 et lettre n°181.

  6. Soit \(C\) une courbe complexe (lisse et compacte) de genre 5. Tout revêtement double étale et non ramifié de \(C\) \[f\,: C' \to C\] est une courbe \(C'\) de genre 9. En effet, la formule de Riemann-Hurwitz s’écrit \[2(g' - 1) = d[2(g - 1) + \text{ramification}]\]\(g\) et \(g'\) sont les genres des deux courbes complexes et \(d\) le degré du revêtement. Donc, dans le cas qui nous intéresse, \(g = 5\), \(d = 2\), d’où \[g' = 1 + 2(5 - 1) = 9.\]

    On peut associer à chaque courbe complexe de genre \(g\) sa Jacobienne, c’est-à-dire le tore complexe \(\mathbb{C}^g/\Delta\)\(\Delta\) est le réseau engendré par les périodes. L’application revêtement \(f\) induit entre les Jacobienne une application \(J(f)\) tel que le diagramme suivant \[\begin{array}{ccc} C' & \xrightarrow{\alpha'} & \text{Jac}(C') \\ f \downarrow & & \downarrow J(f)\\ C & \xrightarrow{\alpha} & \text{Jac}(C) \end{array}\] soit commutatif.

    \(P := \Ker J(f)\) est une variété abélienne de dimension 4 puisque \(\Jac(C')\) est de dimension 9 et \(\Jac(C)\) de dimension 5. D’autre part comme le revêtement est double sans ramification, l’application \(f\) est définie par une involution sans point fixe \[i\,: C' \to C'\] qui induit une involution \[J(i):\Jac(C') \to \Jac(C')\] telle que \[\Jac(C') = P \oplus J\]\(P = \Ker \left( J(f) \right) = \{ x \in \Jac(C')/J(i)x = - x \}\) et \(J = \{ x \in \Jac(C')/J(i)x = x \}\).

    Cette décomposition fournit la décomposition des fonctions abéliennes “engendrées” par \(C'\) à l’aide de fonctions abéliennes en 5 et 4 variables (celles de \(J\) et celles de \(P\)).

  7. Voir Wirtinger (1895), comme Mittag-Leffler le précisa à Poincaré par lettre (voir lettre n°184).


Références

Wirtinger, Wilhelm. 1895. Untersuchungen über Thetafunctionen. Leipzig: Teubner.

Titre (dcterms:title)

Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 décembre 1901

Incipit (ahpo:incipit)

Je m'occuperai de l'affaire Lorentz.

Date (ahpo:writingDate)

1901-12-19

Expéditeur (ahpo:sentBy)

Destinataire (ahpo:sentTo)

Lieu (ahpo:writtenAt)

Chapitre (ahpo:publishedIn)

Lieu d’archivage (ahpo:archivedAt)

Type (ahpo:documentType)

(fr) Lettre autographe signée

Section (dans le livre) (ahpo:sectionNumber)

183

Nombre de pages (ahpo:numberOfPages)

3

Noms cités (ahpo:citeName)

Noms cités dans l'apparat (ahpo:citeApparatName)

Langue (ahpo:language)

fr

Publié sous la référence (ahpo:publishedInReference)

CHP 1:183

Éditeur (dcterms:publisher)

Licence (dcterms:license)

« Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 19 décembre 1901 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d., Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, accessed 29 October 2020, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/6629

Scan