LettreGösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 février 1909

Djursholm le 17 Février 1909

Mon cher ami,

Vous avez publié dans les Comptes rendus deux articles fort intéressants sur les méthodes de Fredholm.1 M. Fredholm ne parvient pas à démontrer vos résultats. Il s’est imaginé que des théorèmes dans ce genre devaient exister mais il n’est jamais parvenu à les démontrer.2

J’ose donc vous proposer de m’écrire un article sur ce sujet en forme d’une lettre à moi ou sous quelle autre forme que vous veuillez choisir.3

Il paraît que la commission Nobel s’intéresse à la télégraphie sans fil.4 Mais nous verrons.

Dans l’espoir que ces lignes vous trouveront en bonne santé.

Tout à vous.

Votre ami dévoué


Apparat critique 

  1. Poincaré (1908), et (1909b).

  2. Fredholm (1903) s’intéresse à l’équation \[\varphi(x) + \int_0^1 f(x,y)\varphi(y)dy = \phi(x).\]

    Fredholm introduit formellement le déterminant de l’équation intégrale comme généralisation du déterminant d’un système d’équations linéaires. Il montre que si f est finie et intégrable, celui-ci est défini. Fredholm montre alors que la transformation \(S_f\) définie par \[S_f (\varphi)(x) = \varphi(x) + \int_0^1 f(x,y)\varphi(y)dy\] est inversible si le déterminant est non nul.

    Fredholm termine son article en étudiant “le cas où \(f\left( {x,y} \right)\) devient infini de telle manière que \((x - y)^\alpha f(x,y)\) reste fini”, \(\alpha\) restant un nombre inférieur à l’infini. Il montre que dans ce cas en itérant le noyau, on obtient un noyau qui reste fini.

    Poincaré reprend l’analyse cette analyse en écrivant l’équation de Fredholm sous la forme \[\varphi(x) = \lambda \int_0^1 {f\left( {x,y} \right)\varphi (y)} dy + \phi(x).\]

    La solution de Fredholm s’écrit alors \[\varphi(x) = \phi(x) + \lambda\int_0^1\phi(y)\frac{N(\lambda,x,y)}{D(\lambda)}dy\]\(N\) et \(D\) s’expriment en fonction du déterminant de Fredholm. Poincaré étudie la formation de la fonction méromorphe \(N(\lambda)/D(\lambda)\) quand le noyau devient infini pour \(x = y\) de la même façon que \((x - y)^\alpha\)\(\alpha < (n-1)/n\) pour un certain \(n\).

  3. Poincaré (1909a), (1910), (1934, 555–82).

  4. Voir lettre n°239 et lettre n°240.


Références

Drach, Jules, ed. 1934. Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 3. Paris: Gauthier-Villars.

Fredholm, Ivar. 1903. “Sur une classe d’équations fonctionnelles.” Acta Mathematica 27: 365–90.

Poincaré, Henri. 1908. “Remarques sur l’équation de Fredholm.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences de Paris 147 (25): 1367–71.

———. 1909a. “Remarques diverses sur l’équation de Fredholm.” Association Française Pour L’avancement Des Sciences 38: 1–28.

———. 1909b. “Sur quelques applications de la méthode de M. Fredholm.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences de Paris 148 (3): 125–26.

———. 1910. “Remarques diverses sur l’équation de Fredholm.” Acta Mathematica 33: 57–86.

Titre (dcterms:title)

Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 février 1909

Incipit (ahpo:incipit)

Vous avez publié dans les Comptes rendus deux articles fort intéressants ...

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1909-02-17

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Prix Nobel Physique 1909

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fr Brouillon document dactylographié

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« Gösta Mittag-Leffler à Henri Poincaré - 17 février 1909 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 28 mars 2023, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/6864