[Ca. 1892]

Monsieur le Directeur

Permettez-moi de répondre à la lettre si intéressante de M. Mouret; non que je désire avoir le dernier mot, car je n’ai pas la prétention de clore définitivement une discussion qui dure depuis plus de deux mille ans mais parce que ce m’est une occasion de présenter quelques observations nouvelles.¹¹Mouret 1892. J’ai cherché à faire ressortir le rôle important de l’expérience dans la genèse des notions mathématiques; mais j’ai voulu en même temps montrer que ce rôle est limité. Pour atteindre ce double but, les fictions de Riemann et de Beltrami, dont j’ai entretenu vos lecteurs, peuvent rendre quelques services; elles aident en effet l’imagination à rompre des habitudes créées par l’expérience journalière et qui sont tellement invétérées qu’elles semblent s’imposer à l’esprit avec nécessité.

Voici une de ces fictions qui me paraît assez amusante. Imaginons une sphère S et à l’intérieur de cette sphère un milieu dont l’indice de réfraction et la température soient variables. Dans ce milieu se déplaceront des objets mobiles; mais les mouvements de ces objets seront assez lents et leur chaleur spécifique assez faible pour qu’ils se mettent immédiatement en équilibre de température avec le milieu. De plus tous ces objets auront un même coefficient de dilatation, de sortes que nous pourrons définir la température absolue par la longueur de l’un quelconque d’entre eux. Soit $R$ le rayon de la sphère, $\rho$ la distance d’un point du milieu au centre de la sphère. Je supposerai qu’en ce point la température absolue soit $R^2-{\rho }^2$ et l’indice de réfraction $\frac{1}{R^2-{\rho }^2}$.

Que penseraient alors des êtres intelligents qui ne seraient jamais sortis d’un pareil monde?

1° Comme les dimensions de deux petits objets transportés d’un point à un autre varieraient dans le même rapport, puisque le coefficient de dilatation serait le même, ces êtres croiraient que ces dimensions n’ont pas changé; ils n’auraient aucune idée de ce que nous appelons différence de température; aucun thermomètre ne pourrait le leur révéler, puisque la dilatation de l’enveloppe serait la même que celle du liquide thermométrique.

2° Ils croiraient que cette sphère S est infinie; ils ne pourraient jamais en effet atteindre la surface; car à mesure qu’ils s’en approcheraient, ils entreraient dans des régions de plus en plus froides, ils deviendraient de plus en plus petits, sans s’en douter, et ils feraient de plus en plus petits pas.

3° Ce qu’ils appelleraient lignes droites, ce seraient des circonférences orthogonales à la sphère S, et cela pour trois raisons:

1° Ce seraient les trajectoires des rayons lumineux;

2° En mesurant diverses courbes avec un mètre, nos êtres imaginaires reconnaîtraient que ces circonférences sont le plus court chemin d’un point à un autre; en effet leur mètre se contracterait ou se dilaterait quand on passerait d’une région à une autre et ils ne se douteraient pas de cette circonstance;

3° Si un corps solide tournait de telle façon qu’une de ses lignes demeurât fixe, cette ligne ne pourrait être qu’une de ces circonférences. C’est ainsi que si un cylindre tournait lentement autour de deux tourillons et était chauffé d’un côté, le lieu de ses points qui ne bougeraient pas serait une courbe convexe du côté chauffé et non pas une droite.

Il en résulterait que ces êtres adopteraient la géométrie de Lowatchevski.

Mais je m’égare bien loin de l’objet de ma lettre; ces considérations sont de nature à montrer l’importance de l’expérience, et par conséquent à faire ressortir ce qui me rapproche de M. Mouret. Je dois insister un peu sur les différences.

L’expérience peut-elle, à elle seule engendrer les notions mathématiques et, (sans pousser comme M. Mouret jusqu’à la notion fondamentale d’égalité), peut-elle à elle seule nous donner la notion de continuité mathématique? Il suffit, pour avoir le droit d’en douter, de réfléchir à la différence profonde qui sépare la continuité physique de la continuité mathématique. Voici une sensation qui va en croissant graduellement; il semble qu’il y ait quelque chose de tout à fait pareil au continu des géomètres. Fechner a même cherché une relation mathématique entre la sensation et l’excitation; mais sur quelles expériences a-t-il établi sa célèbre loi? Nous ne pouvons distinguer un poids A de 10 grammes d’un poids B de 11 grammes; mais nous distinguons le poids A du poids C. les expériences traduites en équations sans coup de pouce s’écrivent:

Voilà la formule du continu physique, tandis que celle du continu mathématique serait:

Mais M. Mouret va beaucoup plus loin dans son remarquable article de la Revue philosophique; il s’attaque à la notion primordiale de l’égalité qu’il veut faire dériver de l’expérience. J’ai beaucoup à approuver dans cet article, surtout cette pensée que l’idée d’espace n’est pas une idée simple, et que toutes les idées mathématiques se résolvent dans les catégories de relation, de ressemblance, de différence et d’individu. J’ai pris beaucoup d’intérêt à la lecture de ses arguments, dont j’ai admiré la variété, mais je ne puis m’empêcher de rappeler que les plus caractéristiques sont déjà dans «   Zählen und Messen   » de Helmholtz; les conclusions seules diffèrent.²²Helmholtz 1887. J’avoue que je ne puis me décider à croire que cette proposition: Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles, soit un fait expérimental que des expériences plus précises infirmeront peut-être un jour. J’aime mieux conclure avec Helmholtz que nous donnons le nom d’égalité à tout ce qui dans le monde extérieur est conforme à l’idée préconçue que nous avons de l’égalité mathématique.

H. Poincaré,

de l’Institut.

PTrL. Poincaré 1892.