LettreCarl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 25 juillet 1891

Cher Monsieur !
Il y a quelque temps (un an environ) j’ai été en possession d’une intégrale particulière d’une forme nouvelle du problème des trois corps.1 En défaut de temps je n’ai pas pu pousser les recherches sur la convergence, sur le calcul des coefficients et d’autres questions semblables jusqu’au bout. Mais comme il me semble que le résultat obtenu n’est pas sans intérêt (et pourrait être généralisé possiblement) je l’ai cru opportun de vous en faire notes, craignant seulement que vous ne le trouverez trop insignifiant.
Voici en ce que consiste le résultat.
Soient \(r\) et \(r'\) les rayons vecteurs des deux planètes qui circulent autour du soleil, \(m\) et \(m'\) leurs masses, \(v\) et \(v'\) les anomalies vraies correspondantes.
Soient enfin \(a\), \(a'\), \(v_0\), \(v'_0\) quatre constantes d’intégration d’une signification géométrique bien connues,2 je dis qu’en posant3 \[\Delta^2=a^2+a_1^2-2aa_1cos(\lambda t+\delta),\]4
\[\lambda=n-n'\quad\delta=v_0-v'_0,\] il existe une intégrale particulière du problème des trois corps de la forme suivante \[\left\{\begin{array}{c@{\;=\;}c@{\;+\;}l} r&a&m'\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}A_n\Delta^n\\ r'&a'&m'\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}A'_n\Delta^n\\ v&v_0&nt+\sin(\lambda t +\delta)\,m'\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}B_n\Delta^n\\ v'&v'_0&n't+\sin(\lambda t +\delta)\,m\sum B'_n\Delta^n \end{array}\right.\] où les dernières équations pourront être écrites aussi sous la forme \[\begin{array}{c@{\;=\;}c@{\;+\;}c@{\;+\;}l} v&v_0&nt&m'\;\frac{d\Delta}{dt}\;\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}B_n\Delta^n\\ v'&v'_0&n't&m\;\frac{d\Delta}{dt}\;\sum B'_n\Delta^n \end{array}\] La démonstration de ce que ces séries satisfaient formellement aux équations du mouvement se fait sans difficultés. Elle s’appuie essentiellement sur la propriété suivante de la fonction \(\Delta\), savoir \[\frac{d^2\Delta^2}{dt^2}=\lambda^2 \;[a^2+a_1^2-\Delta ^2]\] et je ne le crois nécessaire à insister longuement sur cette démonstration, dont vous voyez certainement immédiatement les traits capitals.
Cette solution correspond, vous le voyez, à une de vos solutions périodiques,5 mais elle a par sa forme d’une série ordonnée d’après les puissances d’une seule variable \(\Delta\) – sous la supposition bien nécessaire que cette série converge – le grand avantage de donner à le domaine de la convergence une forme continue,6 limitée par les deux circonférences qui sont déterminées par les rayons de convergence de la série à puissances positives et de celles à puissances négatives des expressions \((1)\).
J’espère que j’aurai occasion cet autumn à m’occuper un peu sérieusement avec le problème des trois corps et particulièrement avec votre mémoire couronné7 et il me semble qu’il ne sera pas donc trop difficile à déterminer les conditions de la convergence des séries \((1)\).
J’ai voulu avec ces lignes seulement vous faire une courte notice du dit résultat en supposant que vous le trouverez avoir un peu d’intérêt.

Avec beaucoup d’estime
votre
C.V.L. Charlier
Upsala 25/7:91
à M. H. Poincaré
l’Institut de France
Paris

 


Apparat critique 

  1. Charlier publie dans la période des années 1890, deux articles consacrés à la théorie des trois corps (Charlier (1888), (1892)).
    D’après la recension du Jahrbuch (JFM 25.1408.03), Charlier (1892, 1893) expose dans ses études sur le problème des trois corps (Studier öfver tre-kroppar-problemet) la solution dont il fait part à Poincaré dans cette lettre :

    Im zweiten Teile giebt der Verf. eine particuläre Lösung des DreikÖrperproblems für den Fall, dass die Körper sich in einer Ebene bewegen. Die Lösung enthält vier willkürliche Integrationsconstanten, und die Coordinaten werden durch Potenzen einer Grösse \[\Delta = \sqrt{a^2+a_1-2aa_1\cos (\lambda t+L)}\] dargestellt, wo \(a\) und \(a_1\) Integrationsconstanten sind, und \(\lambda\), \(L\) von denselben abhängen. Diese reihen convergiren im allgemeinen für alle Werte der Zeit \(t\). Die Lösung hat die Periode \(\frac{2\Pi}{\lambda}\). ((JFM 25.1408.03))

    ↩︎
  2. \(a\) désigne le demi-grand axe. \(v_0\) et \(v'_0\) désignent les valeurs à l’origine des temps des anomalies vraies des deux corps.↩︎

  3. \(\Delta\) désigne avec les notations usuelles la distances des deux planètes Tisserand (1885), p. 2 ; (1889), p. 466 ; Lindstedt (1884), p. 87 par exemple). Charlier remplace dans la formule \(\Delta^2=r^2+r'^2-2rr'\cos(MM')\) les rayons vecteurs par les distances moyennes.↩︎

  4. \(n\) désigne le moyen mouvement.↩︎

  5. La solution proposée par Charlier est d’un point de vue formel essentiellement analogue aux solutions de la première sorteproposées par Poincaré (1884). L’intérêt de la présentation de Poincaré est de montrer a priori l’existence de solutions périodiques (dans le cas où les inclinaisons sont nuls et les excentricités petites pour les solutions de la première sorte) et d’en déduire alors que les distances mutuelles des trois corps peuvent se développer n séries ordonnées suivant les cosinus des multiples de \(t\). En effet, en montrant a priori la périodicité des solutions qu’il étudie, Poincaré évite la question de la convergence de la série :

    La difficulté était de démontrer rigoureusement l’existence de la solution périodique et d’écarter ainsi à l’avance tous les embarras que pourraient nous causer les questions de convergence. On peut ensuite calculer les coefficients par des approximations successives. Poincaré (1884), p. 69

    Poincaré explique l’importance des solutions périodiques pour le problème des trois corps dans deux notes publiées en 1883 et 1884 consacrées à certaines solutions du problème des trois corps Poincaré (1883), (1884). La considérations des solutions périodiques est le point de départ de son article primé au concours du roi de Suède en 1883, sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique Poincaré (1890) dont il donne un résumé dans le Bulletin Astronomique Poincaré (1891):

    Les solutions périodiques semblent d’abord sans aucun intérêt pour la pratique. La probabilité pour que les circonstances initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une pareille solution est évidemment nulle. Mais il peut très bien arriver qu’elles en diffèrent fort peu ; la solution périodique pourra jouer alors le rôle de première approximation d’orbite intermédiaire. Il peut donc y avoir intérêt à étudier les solutions qui diffèrent peu d’une solution périodique. Poincaré (1891), 16

    ↩︎
  6. bornée rayée↩︎

  7. Poincaré(1890).↩︎


Références

Charlier, C. V. L. (1888) Ueber eine mit dem Problem der drei Körper verwandte Aufgabe. Mémoires de l’Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg 36. ↩︎

Charlier, C. V. L. (1892) Studier öfver tre-kroppar-problemet. Bihang till Kongl. Svenska vetenskaps-akademiens handlingar 18 (6). ↩︎

Charlier, C. V. L. (1893) Studier öfver tre-kroppar-problemet. Bihang till Kongl. Svenska vetenskaps-akademiens handlingar 19 (2).↩︎

Lindstedt, Anders. 1884. “Sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des trois corps.” Annales Scientifiques de L’École Normale Supérieure 1: 85–102.↩︎

Poincaré, Henri. 1883. “Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps.” Comptes Rendus Hebdomadaires Des Séances de L’Académie Des Sciences 97: 251–52.↩︎

———. 1884. “Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps.” Bulletin Astronomique 1: 65–74.↩︎

———. 1890. “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique.” Acta Mathematica 13: 1–270.↩︎

———. 1891. “Sur le problème des trois corps.” Bulletin Astronomique 8: 12–24.↩︎

Tisserand, François-Félix. 1885. “Mémoire sur le problème des trois corps.” Annales de L’Observatoire de Paris 18: G.1–G.19.↩︎

———. 1889. Traité de mécanique céleste. Paris: Gauthier-Villars.↩︎

 

Titre (dcterms:title)

Carl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 25 juillet 1891

Incipit (ahpo:incipit)

Il y a quelques temps (un an environ) j'ai été en possession d'une intégrale particulière ...

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1891-07-25

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fr

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« Carl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 25 Juillet 1891 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré, Les Astronomes Et Les géodésiens. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 6 février 2023, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/9474