LettreCarl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 10 mai 1899

Lund Mai 10 1899

À M. H. Poincaré — Membre de l’Institut — Paris

Cher Monsieur !

Les solutions particulières du problème des trois corps dans le plan, pour lesquelles les excentricités des orbites intermédiaires sont nulles, sont susceptibles d’être réduites à une simple quadrature.1

Soient en effet2 \[\begin{aligned} L \&= \beta\sqrt{a}, & \mathcal{G} &= \beta\sqrt{a(1-e^2)}\\ \ell & =\text{anom[alie] moy[enne]}, & g &= \text{long[itude] du pér[ihélie]}\end{aligned}\] donc on a pour le mouvement dans un plan les équations : \[\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial \ell} ;& \frac{d\ell}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial L}\\ \frac{d\mathcal{G}}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial g} ;& \frac{dg}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}}\\ \frac{dL'}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial \ell'} ;& \frac{d\ell'}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial L'}\\ \frac{d\mathcal{G}'}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial g'} ;& \frac{dg'}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}'}\end{aligned}\] où la valeur de la constante \(\beta\) dépend du choix des coordonnées.

La fonction \(F\) peut être développée dans une série d’après les puissances des excentricités des orbites intermédiaires, soit \[F = F_0 + \sqrt{L^2 - \mathcal{G}^2} F_{10} + \sqrt{L'^2 - \mathcal{G}'^2} F_{01} + \cdots\]

Le problème est à trouver des solutions particulières des équations (A), pour lesquelles3 \[\sqrt{L^2 - \mathcal{G}^2} = \sqrt{L'^2 - \mathcal{G}'^2} \equiv 0.\]

Quelque soit le choix des coordonnées, \(F_0\) est une fonction seulement de \(L\), \(L'\) et de la différence des longitudes des deux masses, c’est-à -dire de \(\ell + g - (\ell' + g')\).

Pour des valeurs évanouissantes des excentricités on a \[\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \frac{\partial F_0}{\partial \ell}\\ \frac{dL'}{dt}&= \frac{\partial F_0}{\partial \ell'},\end{aligned}\] et comme \[\frac{\partial F_0}{\partial \ell} + \frac{\partial F_0}{\partial \ell'} = 0,\] on a l’intégrale \[L + L' = C.\tag{1}\] En posant \[\begin{aligned} L &= \Lambda\\ \because L' &= C - \Lambda\\ L - L' + g - g' &= \lambda,\end{aligned}\] on peut donc exprimer \(F_0\) en fonction seulement de \(\Lambda\) et \(\lambda\).

Les équations différentielles de \(\Lambda\) och de \(\lambda\)4 sont d’une forme canonique.5

On obtient \[\frac{d\Lambda}{dt} = -\frac{\partial F}{\partial L} - \frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}} + \frac{\partial F}{\partial L'} +\frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}'}.\]

Mais \[\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial L} &= \frac{\partial F_0}{\partial L} + \frac{L}{\sqrt{L^2 - \mathcal{G}^2}}F_{10} + \cdots\\ \frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}} &= \qquad\, -\frac{\mathcal{G}}{\sqrt{L^2 - \mathcal{G}^2}}F_{10} + \cdots\end{aligned}\] On a donc pour \(L=\mathcal{G}\) \[\frac{\partial F}{\partial L} + \frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}} = \frac{\partial F_0}{\partial L}\] et \[\frac{\partial F}{\partial L'} + \frac{\partial F}{\partial \mathcal{G}'} = \frac{\partial F_0}{\partial L'}.\] D’autre part \[\frac{\partial F_0}{\partial L} - \frac{\partial F_0}{\partial L'} = \frac{\partial F_0}{\partial \Lambda}\] et les équations différentielles de \(\Lambda\) et \(\lambda\) sont \[\frac{d\Lambda}{dt} = \frac{F_0}{\partial \lambda};\qquad \frac{d\lambda}{dt} = -\frac{F_0}{\partial \Lambda}.\tag{2}\]

De ces équations on connaît l’intégrale de la force vive \[F_0 = \text{const.}\] et les éléments \(\Lambda\) et \(\lambda\) sont donc déterminés par une simple quadrature.

La discussion de la formule \((2)\) devient très simple si l’on se sert de la transformation \((\alpha)\), que vous avez envisagée dans le “Bulletin astronomique” pour l’an 1897.6

Avec une haute considération — votre

C.V.L. Charlier

P.S. Les équations différentielles pour les perturbations séculaires dans le mouvement plan peuvent être traitées de la même manière. Ce que vous avez démontré vous même dans le N° 192 de vos “Méthodes nouvelles.”7 Peut-être que vous avez démontré aussi la même chose pour les solutions périodiques d’ordre nul par rapport aux excentricités, quoique je ne l’ai pu trouver.


Apparat critique 

  1. Le problème étudié par Charlier est une simplification de celui étudié par Poincaré dans lequel deux masses planétaires se meuvent autour du corps central dans un même plan, les excentricités restant très petites. L’étude de ce problème donne lieu aux solutions périodiques de première sorte Poincaré (1884), p. 68.↩︎

  2. Dans l’expression habituelle des équations du mouvement elliptique, \(a\) désigne le demi grand axe de la trajectoire elliptique, \(e\) son excentricité, \(l\) l’anomalie moyenne et \(g\) la longitude du périhélie.↩︎

  3. Charlier étudie le problème des trois corps dans le cas où les orbites intermédiaires sont des cercles.↩︎

  4. En français : de \(\Lambda\) et de \(\lambda\).↩︎

  5. A cet endroit, un passage rayé reprend presque termes pour termes le début du raisonnement précédent :

    On a \[\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \frac{\partial F_0}{\partial \ell}\\ \frac{dL'}{dt} &= \frac{\partial F_0}{\partial \ell'},\end{aligned}\] et d’après la forme de \(F_0\) on a \[\frac{\partial F_0}{\partial \ell} + \frac{\partial F_0}{\partial \ell'} = 0.\] On a donc \[L + L' = C,\]\(C\) est une constante d’intégration.↩︎

  6. Dans sa note sur une forme nouvelle des équations du problème des trois corps, Poincaré (1897) étudie différents changements de variables dans les équations du problème des trois corps. Il note par \(A,B,C\) les trois corps et par \(x_1,x_2,x_3\) les coordonnées de \(A\), par \(x_4,x_5,x_6\) celles de \(B\) et par \(x_7,x_8,x_9\) celles de \(C\). Comme à l’accoutumée, Poincaré désigne indifféremment par \(m_1,m_2,m_3\) la masse de \(A\), par \(m_4, m_5,m_6\) celle de \(B\) et par \(m_7,m_8,m_9\) celle du troisième corps \(C\). En notant \(F\) le lagrangien du système et en posant \[y_i = m_i \frac{dx_i}{dt},\] les équations du problème s’écrivent sous forme canonique : \[\frac{dx_i}{dt} = \frac{dF}{dy_i} \qquad \frac{dy_i} = -\frac{dF}{dx_i} \qquad (i = 1, 2, \cdots, 9).\] Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un changement de variables conserve la forme de ces équations est \[\sum x'_i dy'_i = x_i dy_i.\] Poincaré montre que l’on peut aussi caractériser parmi ces changements de variables ceux qui ne modifient pas la forme de l’équation des aires. Il donne des exemples de tels changements de variable et introduit le changement de variables qu’il dénote changement \((\alpha\)): \[y_1=y'_1, \quad y_4=y'_4, \quad x_7=x'_7, x_1-x_7=x'_1, x_4-x_7=x'_4, y'_7=y_1+y_4+y_7.\]

    Ce changement de variables, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite [...] aune signification géométrique très simple.
    Les variables nouvelles \(x'_1, x'_2, \cdots, x'_6\) sont les coordonnées relatives des points \(A\) et \(B\) par rapport à des axes mobiles passant par le point \(C\).
    Les variables \(\frac{y'_1}{m_1}, \frac{y'_2}{m_2}, \cdots, \frac{y'_6}{m_6}\) sont les composantes des vitesses absolues de ces deux points \(A\) et \(B\). Poincaré, (1897), p. 56

    Poincaré rappelle ensuite le changement de variables introduit par Radau (1868) qu’il propose d’appeler le changement \((\beta\)). Il montre que ce changement conserve la forme de l’équations des forces vives ; ce changement de variables consiste à désigner par \(x'_7, x'_8, x'_9\) les coordonnées du centre de gravité \(G\) du système et par \(\xi, \eta, \zeta\) celles du centre de gravité des corps \(A\) et \(C\), puis à poser \[x'_1 = x_1 - x_7, \qquad x'_4 = x_4 - \eta,\] de telle sorte que \(x'_1, x'_2, x'_3\) soient les coordonnées du point \(A\) par rapport à des axes mobiles passant par le point \(C\) ; et \(x'_4, x'_5, x'_6\) celles du point \(B\) par rapport à des axes mobiles passant par le point \(D\) Poincaré (1897), p. 57-58. Un intérêt supplémentaires des changements \((\alpha)\) et \((\beta)\) est qu’ils permettent tous les deux d’abaisser le nombre de degré de liberté de \(9\) à \(6\).

    Poincaré évoque alors le changement de variables le plus utilisé par les astronomes qu’il appelle le changement \((\gamma)\) et dont il signale que ses propriétés sont loin d’être aussi élégantes que celles des changements \((\alpha)\) et \((\beta)\) puisque le changement \((\gamma)\) ne conserve ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires Poincaré (1897), p. 59.

    De plus, si l’on utilise les changements de variables \((\alpha)\) et \((\beta)\), l’intersection des plans des orbites des corps \(A\) et \(B\) reste dans le plan invariable (élimination des nœuds) :

    Il semble que tous ces avantages auraient dû faire substituer le changement \((\beta)\) au changement \((\gamma)\). Si on ne l’a pas fait, c’est sans doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu plus compliqué dans l’hypothèse \((\beta)\). C’est pour cette raison que je crois devoir attirer l’attention sur le changement \((\alpha)\) qui n’a pas encore été proposé, qui n’altère ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires et qui conduit à un développement de la fonction perturbatrice tout aussi simple que le changement \((\gamma)\). Poincaré, (1897), p. 61

    ↩︎
  7. Dans le paragraphe \(192\) du deuxième tome des Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Poincaré ((n.d.)) propose une modification de la méthode d’approximation successives pour l’équation (de l’évection) \[\frac{d^2x}{dt}+x(q^2-q_1 \cos 2t)=\alpha\phi(x,t)\]\(\alpha\) est un coefficient très petit, \(\phi(x,t)\) est une fonction connue de \(x\) et de \(t\) dont les termes sont tous de la forme \[A x^p\cos \lambda t + \mu.\] L’objectif est d’obtenir des développements trigonométriques des solutions sans introduire de terme séculaire. Poincaré obtient deux conditions pour lesquelles on a l’alternative :

    Ou bien le problème proposé est impossible ;
    Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes. Poincaré (1892)

    Dans le paragraphe \(193\), pour montrer que le problème est possible quand le lagrangien est périodique par rapport aux variables \(y_i\), Poincaré utilise des techniques analogues à celles utilisées par Charlier dans sa lettre.↩︎


Références

Poincaré, Henri. 1884. “Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps.” Bulletin Astronomique 1: 65–74.↩︎

———. 1897. “Sur Une Forme Nouvelle Des équations Du Problème Des Trois Corps.” Bulletin Astronomique 14: 53–67.↩︎

———. 1892. Les Méthodes Nouvelles de La Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars.↩︎

Radau, Jean-Rodolphe.1868  "Sur une transformation des équations différentielles de la dynamique", Annales scientifiques de l'ENS, 1\ière série, 5 (1868), 311-375↩︎.

Titre (dcterms:title)

Carl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 10 mai 1899

Incipit (ahpo:incipit)

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1899-05-10

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« Carl Vilhelm Ludwig Charlier à Henri Poincaré - 10 Mai 1899 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré, Les Astronomes Et Les géodésiens. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 7 février 2023, http://henripoincare.fr/s/correspondance/item/9475