LettreHenri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 6 février 1883

Nancy, le 6 Février 18831

Mon cher ami,

J’ai reçu ici votre aimable lettre dont je vous remercie ; je suis absent de Paris depuis trois jours et je compte y rentrer après demain.

Vous me demandez quelques explications au sujet de mon mémoire sur les fonctions de deux variables. Vous me demandez d’abord pourquoi je dis / que dans la partie commune aux deux régions \(R_0\) et \(R_1\) le rapport \[N_1/N_0\] ne devient ni nul, ni infini ; c’est que je suppose que dans la région \(R_0\) les deux fonctions holomorphes \(N_0\) et \(D_0\) ne s’annulent à la fois que pour des points isolés, ou si vous voulez qu’elles ne peuvent pas être toutes deux divisibles par une même fonction \(\varphi\) s’annulant à l’intérieur de \(R_0\) . Cette supposition est toujours permise et de plus elle est absolument indispensable pour la suite de la démonstration.

Voici d’ailleurs pourquoi elle est permise : Si \(N_0\) et \(D_0\) ont un facteur commun qui s’annule au point \(X_0\), \(Y_0\) il est possible de former effectivement ce facteur et de le faire disparaître. Si \(N_0\) et \(D_0\) n’ont pas de facteur commun s’annulant en \(X_0\), \(Y_0\) / il sera possible de prendre la région \(R_0\) assez petite pour qu’il n’y ait pas de facteur commun s’annulant à l’intérieur de \(R_0\).

Vous me demandez pourquoi un point \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) appartiendra au plus à cinq des régions R. Je ne pouvais disposer de ces régions de telles façon qu’un point appartînt au plus à quatre de ces régions. En effet considérons la partie commune à 4 régions R, elle satisfera aux 4 inégalités :

\[S_1 < 0S_2 < 0S_3 < 0S_4 < 0\]

Les quatre équations : \[S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = 0\] auront toujours des solutions communes ; dans le voisinage d’une de ces solutions il y aura des points satisfaisant aux 4 inégalités (1) et n’appartenant par conséquent à aucune autre région R que les / 4 régions considérées, et des points qui satisferont aux 4 inégalités \[S_1 > 0S_2 > 0S_3 > 0S_4 > 0\] et qui n’appartiendront à aucune des 4 régions \(R_1 ,R_2 ,R_3 ,R_4\) à cause de ces inégalités ; ni à aucune autre région R puisqu’ils sont infiniment voisins des premiers.

Au contraire, on peut toujours disposer des régions R, de telle sorte qu’un point appartienne au moins à 1 et au plus à 5 d’entre elles. Vous pouvez aisément vous rendre compte de tout cela en considérant seulement deux dimensions en envisageant des cercles. Le nombre est alors 3 et non plus 5.2 Cela n’a d’ailleurs aucune importance pour ce qui suit.

Il ne me reste que la place de vous serrer la main et de vous prier de présenter à Madame Mittag les amitiés de ma femme et mes respects.

Poincaré


Apparat critique

  1. Paris-6 février — Stockholm-10 février. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, p. 157-158.

  2. On peut recouvrir un plan avec des disques de telle manière que trois au plus s’intersectent.

Titre
Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 6 février 1883
Incipit
J'ai reçu ici votre aimable lettre dont je vous remercie ; ...
Date
1883-02-06
Lieu
Paris
Sujet
Fonction Méromorphe à plusieurs variables
Lieu d’archivage
Mittag-Leffler Institute
Type
fr Lettre autographe signée
Section (dans le livre)
27
Nombre de pages
4
Noms cités dans l'apparat
Signe Lindfors
Langue
fr
Publié sous la référence
CHP 1:27
Licence
CC BY-ND 4.0

« Henri Poincaré à Gösta Mittag-Leffler - 6 février 1883 ». La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler. Archives Henri Poincaré, s. d, Archives Henri Poincaré, s. d, La correspondance d'Henri Poincaré, consulté le 1 mars 2024, https://henripoincare.fr/s/correspondance/item/5917